大苏格兰2015年中学等级考试的一道初等数学题

题目来源

苏格兰2015 中学等级考试数学题；

A crocodile is stalking prey located 20 meters further upstream on the opposite bank of a river. Crocodiles travel at different speeds on land and in water.

The time taken for the crocodile to reach its prey can be minimised if it swims to a particular point , $P$, $x$ meters upstream on the other side of the river as shown in the diagram.

The time taken, $T$, measured in tenths of a second, is given by

$$T(x)=5\sqrt{36+x^2}+4\cdot(20-x)$$

(a) (i) calculate the time taken if the crocodile does not travel on land.
(ii) calculate the time taken if teh crocodile swims the shortest distance possible.
(b) between these extremes there is one value of $x$ which minimises the time taken. Find this value of $x$ and hence calculate the minimum possible time.

希望不用微积分，而只用初等数学求解。
方法看起来应该很多， 因为类似的典型习题被国内很多中学老师研究过。有名的比如“孙维刚”。

初等解法

下面按照难度系数大致上逐渐递增的次序给出一些初等解法。

所谓 难度系数，并没有一个统一的严格定义。不过大致上可以依据，在我国大多数中学生所受的数学训练和思维方式之下，比较容易想到、解法的繁琐程度相对低的解法，就是相比而言难度系数较低的解法。

一元二次方程根的判别式法

容易知道鳄鱼沿 $APC$ 伏击时所用时间为：

$$T(x)=5\sqrt{36+x^2}+4(20-x)$$

设 $x=x_0$使得 $T(x)$ 达到最小 $T_0$，即：

$$T_0\equiv 5\sqrt{36+x_0^2}+4(20-x_0)\le 5\sqrt{36+x^2}+4(20-x)$$
把不含根号的项移到同一边：
$$0\lt T_0-4(20-x)=T_0-80+4x\le 5\sqrt{36+x^2}$$
两边同时取平方，并化为关于 $x$的一元二次方程的形式：
$$9x^2+(640-8T_0)x+(160T_0-T_0^2-5500)= 0$$
方程在 $[0,20]$之间有唯一实数解的必要条件是：
$$\Delta=(640-8T_0)^2-4\times 9\times(160T_0-T_0^2-5500)=0$$
即
$$100(T_0-62)(T_0-98)=0, \quad\Rightarrow T_0=62\; 或\; T_0=98$$

这两个$T$值分别代入$T(x)$ 反求 $x$, $T=98\Rightarrow x=8$， 但是$T=62\Rightarrow x=-8\lt 0$, 所以：

$$x=8 (米), T(x)=98 (秒)$$

最小作用原理（斯涅耳定理)法

最小作用原理，光线在通过不同介质时总是选择所用的总时间最短的路线，在光学中体现为Snell定理，即入射角和出射角的正弦值之比等于它们的折光率之比，也等于光在不同介质中传播时的速度之比。这是可以用变分方法来证明的。其原理虽然深邃（在费曼物理学讲义中也是很受欣赏的,而且该讲义第一卷光学部分有一个跟该题很类似的美女落水待救的例子），结论却是初等的物理定理（Snell定律）。

把类似的原理应用到当前的场景，视鳄鱼路线为光路，$AP$为入射线，入射角$\alpha$, $PC$为折射线，折射角为90°。如图，这相当于从折光率高的介质入射到折光率低的介质中刚好发生全发射的情形，即入射角为临界角，也就是说，$\angle BAP=\alpha$对应于发生全反射的入射角。此时，

$$\sin\alpha=\frac{x}{\sqrt{36+x^2}}=\frac{\tfrac{1}{5}}{\tfrac{1}{4}}=\frac{4}{5}$$
解这个关于 $x$的方程得到：
$x=\pm 8$， 只有 $x=8$ 符合题意。得到的是跟前面方法一样的结果，代入可以得到: $$T(x)_{|x=8 米}=98 秒$$

参数方程和几何方法

@万精油墨绿 微博上网友@李委明 给出的解法

沿用上图 $\alpha=\angle BAP\in(0,\tfrac{\pi}{2})$ 的定义, 尝试把

$$T(x)=5\sqrt{36+x^2}+4(20-x)$$ 改写成关于 $\alpha$ 的三角函数形式。

$\because AP=\dfrac{6}{\cos\alpha}$, $PC=20-6\times \tan\alpha$

$\therefore \mathbb{T}(\alpha)=5\times AP+4\times PC=\dfrac{30}{\cos\alpha}+80-24\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

$$=24\dfrac{\tfrac{5}{4}-\sin\alpha}{0-(-\cos\alpha)}+80\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\;.$$

再替换成参数 $\theta=\pi-\alpha$ 形式:

$$\mathbb{T}(\theta)=80+24\frac{\tfrac{5}{4}-\sin\theta}{0-\cos\theta},\quad\theta\in(\dfrac{\pi}{2},\pi)$$

原来的问题转化为求如图的$\frac{1}{4}$ 圆弧上点 $B$ 与 $A=(0,\frac{5}{4}$ 所确定的直线斜率的最小值的问题。容易证明，直线和圆相切的时候这个斜率最小，其它情况相割都不是最小斜率。

用几何方法从上图容易证明此时斜率： $k=\dfrac{\tfrac{5}{4}-\sin\theta}{0-\cos\theta}=\dfrac{3}{4}$
代入上面 $\mathbb{T}(\theta)$ 式从而:

$$\min\limits_{\theta\in(\frac{\pi}{2},\pi)}\mathbb{T}(\theta)=80+24\times\frac{3}{4}=98$$

进而可以知道对应的 $x$。

这个方法借助圆的参数方程，把代数极值问题变成几何的求切线问题，也很巧妙。相对而言也是较难想到的。

类似最小作用原理的几何法

改写$T(x)=5\sqrt{36+x^2}+4(20-x)$ 为：

$T(x)=5\left(\sqrt{36+x^2}+\dfrac{4}{5}(20-x)\right)$

作图直线$CD$使得$\beta$ 总满足 $\sin\beta=\dfrac{4}{5}$, 则从下图看这个式子的几何意义:

.

$AP=\sqrt{36+x^2}$, , 所以, $PD=(20-x)\sin\beta=\dfrac{4}{5}(20-x)$

从而原始极小值问题转化成为一个$AP+PD$何时最小的问题。

因为 点$A$ 和直线 $CD$ 固定, 所以,$A, P, D$ 三点共线时该和最小。易证明此时 $\alpha=\beta$, 即 $\sin\alpha=\dfrac{4}{5}$。

进一步的计算就跟 最小作用原理(Snell定律)的方法殊途同归了。

变量代换的代数方法

@万精油墨绿 提供了一种也很巧妙的代数解法，我个人感觉不太容易想到，所以，视为初等方法中比较难的一种。

先令 $y=\sqrt{36+x^2}$, 即 $x=\sqrt{(y+6)}\times\sqrt{y-6}$ 代入 $T(x)$ 整理得到关于 $y$ 的表达式:

$$T(x)=\mathbb{T}(y)=(2\sqrt{y-6}-\sqrt{y+6})^2+98\ge 98$$

$$2\sqrt{y-6}=\sqrt{y+6}\;\;时取极小值$$ 即, $$4(y-6)=y+6\Rightarrow y=10=\sqrt{36+x^2}\Rightarrow x=\pm 8$$

这方法算起来容易, 但是想到不容易。

求导数的不算初等的方法

直接对

$$T(x)=5\sqrt{36+x^2}+4(20-x)$$
求在 $x\in[0,20]$上的极小值也是可以的，只须求导数即可。

$$T'(x)=\frac{5 x}{\sqrt{x^2+36}}-4=0$$
同样是得到 $x=\pm 8$ , $x=8$ 是该区间上符合题意的极值点。