两个问题的解释：椭圆极坐标方程和某函数的极限

问题来源

有时候，读书不用心，或者不求甚解，错误知识的细微末节累积起来就可能给日后的自己带来一系列无法理解的“悖论”或“佯谬”。即，从思路$A$看一个问题，得到导出命题 $A_r$; 从本该或想当然等价于$A$的思路$A'$看同一个问题，导出了命题 $B_r$，而且显然 $A_r\ne B_r$，然后陷入纠结之中。——不过，发现或创造新的知识体系似乎也是这么来的。

注意到有两个问题是值得关注的，可能是谬误的解题思路的源泉：

第一个. 对常见的椭圆参数方程中参数几何意义的错误理解；
第二个. 对曲线形态跟某个微小参数之间变化趋势的理解则纯属钻牛角尖加既夯又懒所致。

——本来夯就不适合搞研究，勤能补拙你不勤，钻牛角尖则说明偏执，子曾经曰过的“朽木不可雕也、粪土之墙不可圬也”就是说的这里的第二种。

解读两种误解

这里提两个。

椭圆参数方程的参数意义及极坐标

$$\left\{\quad \begin{array}{cl} x=&\!\!\!\!\! a \cos t\\ y=&\!\!\!\!\! b \sin t \\ \end{array} \right.,\quad t\in[0,2\pi]$$

这里的参数 $t$ 几何意义一般情况下(尤其指 $a\ne b$ 时)并不是椭圆上参数为 $t$ 时的点与原点之间连线与$x$轴的夹角，或者，极坐标系下自然参数 $\theta$角。

写出椭圆的极坐标方程是要这样的，找出椭圆上任意一点 $(x,y)$，计算该点到原点的距离得到 $\rho$， 计算该点与 $(0,0)$ 连线的正切角得到 $\theta$。

用上面的椭圆参数方程的话 $\rho=a^2\cos^2t+b^2\sin^2t$ 无法消去什么；再看 $\theta=\tan^{-1}\left(\dfrac{y}{x}\right)=\tan^{-1}\left(\dfrac{b\sin t}{a\cos t}\right)=\tan^{-1}\left(\dfrac{b}{a}\tan (t)\right)$, 可见 只要 $a\ne b$则$\theta$ 与$t$ 几何意义并不等价。

把椭圆参数方程写成隐函数形式(目的是消去几何意义很别扭的参数 $t$)得到：

$$b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2=0$$
然后把极坐标下的等式
$$\left\{\quad \begin{array}{cl} x=&\!\!\!\!\! \rho \cos \theta\\ y=&\!\!\!\!\! \rho \sin \theta \\ \end{array} \right.,\quad \theta\in[0,2\pi]$$
代入，得到关于$\rho$的一元二次方程。解出$(\rho\ge 0)$的根就是椭圆的极坐标方程：
$$\rho(\theta) = \frac{a b}{\sqrt{a^2 \sin ^2\theta +b^2 \cos ^2\theta }}$$

从而求椭圆弧长的时候总能碰上椭圆积分：

$$\displaystyle\int_{\tfrac{\pi }{2}-\beta }^{\tfrac{\pi }{2}+\beta} \sqrt{\dfrac{a^2b^2\left(b^4 \cos^2t+a^4\sin^2t\right)}{\left(b^2\cos^2t+a^2 \sin^2t\right)^3}}\, {\rm d}t$$

函数某个参数微调下的剧变？

有人纠结于为什么

$$y_1(x)=\left(1+\frac{1}x\right)^x$$
跟
$$y_2(x)=\left(1+\frac{1}x\right)^{1+x}$$
函数形态的巨大差异，在区间 $x\in(1,+\infty)$上一个递增、一个递减。求个导数就很清楚了。仍然纠结。

在如此简单的小问题上纠结，而不是自己解决，这种人不适合搞数学相关研究——智商悟性和勤奋都不足；此外，纠结通常是有些偏执的（狂不狂不知道，听说成功人士乔布斯也偏执狂，不过智商呢？），这意味着民科潜质；何况，提问题抓不住重点，抛出来之后效果形同让人一直猜你到底纠结什么：懒惰又不善于表达和沟通。——提这问题的人，我真替你捉急。

注意到一个突变，当参数$k$只须是一个大于 $0$的但可以任意小的正常数(比如$0.000000000000001$)，则：

$$\lim\limits_{x\to 0}\left(1+\frac{1}x\right)^x=1$$
但是
$$\lim\limits_{x\to 0}\left(1+\dfrac{1}x\right)^{k+x}\to +\infty$$
尔后看 $k$ 从一个较小的数值逐渐增大到 $1$ 过程中$(1+\dfrac{1}x)^{k+x}$ 的趋势变化即可。这用Geogebra即可动态展示。

随着 $k$ 从 $0$ 开始逐渐增大，曲线$y_2(x)$形状由跟$y_1(x)$重合到最终的渐变。

隐藏 坐标轴也许更清楚：