平面解析几何又一题

问题

来自网络的一道题。如图绿色部分，$\Delta AOB$ 是等腰直角三角形，$O:(0,0)$为坐标原点，$A: (-4,0)$ 、$B: (0,4)$ 。 $M$ 是$AB$中点。 $E$ 在$x$轴正半轴上，$F$在线段 $OB$ 上。$\angle EMF=45^\rm{o}$。

求使得：$OF+EF=6$ 的$E:(x,0)$点横坐标$x$之值。

解法

看到有人用添加红色辅助线的方法证明了一通，无视$OF+EF=6$就得到了$OE=2$。这个动图只是提示，如图这样的红色辅助线是无济于事的。

强大而稳健的方法，主要还是代数的、解析几何的方法。

假设 $E(x,0),F(0,y)$的情况下，引入了两个未知量，根据已知条件，对$\Delta EMF$利用余弦定理和对$\Delta EOF$使用勾股定理（从而利用已知条件中$OF+EF=6$）恰好得到两个等式。但是乍看至少是 二元二次方程组(实际是二元四次方程组)，求这样的非线性方程组的正实数解（这是不是有些超纲了？，网络上来的不少问题本来可能不一定靠谱）。

$$y+\sqrt{x^2+y^2}=6\tag{1}$$
$$\color{cyan}{x^2+y^2=\left((x+2)^2+4\right)+\left((y-2)^2+4\right)-\sqrt{2\left((x+2)^2+4\right)\cdot\left((y-2)^2+4\right)}}\tag{2*}$$

$$x^2 y^2+ 4 x y^2 - 4 x^2 y- 32 x + 32 y=64 \tag{2}$$

可是，这是二元二次非线性方程组，归结为一元六次方程求根的问题。理论上，大于等于5次的一元多项式方程不一定能找到一般形式的根式解。这个虽然能够求解，并能暴力方法得到 $x=2,y=\dfrac{8}{3}$， 但是是否有初等解法？让人怀疑。

结论

期待初等解法。