42、大型动态经济模型数值方法解析

大型动态经济模型数值方法解析

在经济模型的求解中，涉及到众多变量和复杂的方程系统。下面将详细介绍相关的求解方法，包括欧拉方程法和动态规划法。

欧拉方程法

在经济模型中，存在一个包含五个变量 (c)、(\ell)、(k’)、(k)、(\theta) 的系统。当固定其中三个变量时，可求解另外两个变量。在基准情况下，固定 ((k, \theta)) 和 (k’)，求解 (c) 和 (\ell)。

跨期选择的一阶条件

问题 (1) - (3) 关于资本的一阶条件包含当前和未来变量：
[u_1 (c, \ell) = \beta E\left[u_1\left(c’, \ell’\right)\left(1 - \delta + \theta’f_1\left(k’, \ell’\right)\right)\right]]
此方程不能像 (72)、(73) 那样处理，仅固定 (c)、(\ell) 不足以从该方程计算 (k’)，需要一种能推断所有可能未来经济状态 ((k’, \theta’)) 下未来变量 (c’)、(\ell’) 值的方法。为求解跨期选择条件，使用决策函数的马尔可夫结构，将 (K (k, \theta)) 参数化为灵活的函数形式 (K (k, \theta; b))，并求解近似满足上述方程的系数向量 (b)。

全局欧拉方程法

该方法通过分离跨期和期内选择条件来求解问题 (1) - (3)。算法的内循环和外循环分别对应期内和跨期规划者的选择。具体步骤如下：
1. 选择一个网格 ({k_m, \theta_m} {m = 1, \cdots, M}) 来近似决策函数，选择