25、美式看涨期权的计算方法与提前行权边界分析

美式看涨期权的计算方法与提前行权边界分析

1. 美式看涨期权的初始与边界条件

对于美式看涨期权，其初始和边界条件如下：
- (C(S, 0) = \max(S - K, 0))，其中 (0 \leq S < \infty)。
- (C(0, \tau) = 0)，(\tau \geq 0)。
- (C(a(\tau), \tau) = a(\tau) - K)，(\tau \geq 0)。
- (\lim_{S \to a(\tau)} \frac{\partial C}{\partial S} = 1)，(\tau \geq 0)。

这里的平滑粘贴条件（(\lim_{S \to a(\tau)} \frac{\partial C}{\partial S} = 1)）保证了美式看涨期权的 delta 在自由边界处连续，从而确保无套利价格。不过在 Merton 的跳跃 - 扩散模型下，标准的套利论证难以直接应用于该条件，因为这依赖于标的资产价格 (S) 的连续过程。

若采用 McKean（1965）的方法，会引入不完全的傅里叶变换：
(F_b{V(x, \tau)} \equiv \int_{-\infty}^{\ln b(\tau)} e^{i\eta x} V(x, \tau) dx)，其中 (x = \ln(S))，(V(x, \tau) = C(e^x, \tau))，(b(\tau) = a(\tau)/K)。该方法虽能得到关于 (C(S, \tau)) 和 (a(\tau)) 的积分方程组，但存在一些缺点。因此，我们寻求使用标准傅里叶变换来更高效地解决问题。

2. Jamshidian 表示法