24、具有提前行权特征的衍生品计算方法

具有提前行权特征的衍生品计算方法

1. 总体介绍

美式期权定价问题在期权定价领域已得到深入研究。为了更贴合市场实际情况，即标的资产回报不能仅用布朗运动来准确建模，需要考虑随机波动率和跳跃 - 扩散动态，因为这是最广泛用于捕捉这些影响的过程。

本文将重点介绍积分变换方法和偏微分方程方法。对于偏微分方程方法，将提出几种有限差分方法，包括投影逐次超松弛（PSOR）、线方法（MOL），以及适用于高维问题的稀疏网格和算子分裂方法。

文章结构如下：
1. 给出美式期权定价问题的公式，先考虑几何布朗运动情况，再考虑允许随机波动率和泊松跳跃动态的标的资产价格。
2. 介绍积分变换方法，先一维后多维。
3. 引入线方法（MOL）处理标的资产受随机波动率和泊松跳跃动态驱动的情况，并与算子分裂方法进行性能比较。
4. 总结全文。

2. 随机波动率和泊松跳跃动态下的问题陈述

设 $C(S, v, τ)$ 为美式看涨期权的价格，其中 $S$ 为标的股票价格，$τ$ 为到期时间，$K$ 为执行价格。标的资产 $S$ 的随机微分方程（SDE）由 Merton（1976）提出的跳跃 - 扩散过程和 Heston（1993）的平方根方差过程共同决定：
[
\begin{cases}
dS = (\mu - \lambda k)Sdt + \sqrt{v}SdZ_1 + (Y - 1)SdN \
dv = \kappa_v(\theta - v)dt + \sigma_v\sqrt{v}dZ_2
\end{cases}
]
其中：
- $\mu$ 为股票