26、含提前行权特征衍生品的计算方法：对数正态跳跃情形下的美式看涨期权分析

含提前行权特征衍生品的计算方法：对数正态跳跃情形下的美式看涨期权分析

1. 对数正态跳跃下美式看涨期权的积分方程

在探讨积分方程组（43）和（44）的数值解法之前，我们先考虑跳跃大小密度 $G(Y)$ 为对数正态分布的具体例子，这与 Merton（1976）的原始模型一致。$Y$ 的概率密度函数为：
[G(Y) = \frac{1}{Y\delta\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(\ln Y - (\gamma - \delta^2/2))^2}{2\delta^2}\right)]
其中，$\gamma \equiv \ln(1 + k)$，$\delta^2$ 是 $\ln Y$ 的方差，且 $E_Q[Y] = e^{\gamma}$。

在这种情况下，$C(S, \tau)$ 的积分方程（43）变为：
[C(S, \tau) = \sum_{n = 0}^{\infty}e^{-\lambda’\tau}\frac{(\lambda’\tau)^n}{n!}C_{BS}[S, K, K, r_n(\tau), q, \tau, v_n^2(\tau)] + \sum_{n = 0}^{\infty}\left(\int_{0}^{\tau}e^{-\lambda’(\tau - \xi)}\frac{(\lambda’(\tau - \xi))^n}{n!}\left[C_{P}^{(D)}[S, K, a(\xi), r, r_n(\tau - \xi), q, \tau - \xi, v_n^2(\tau - \xi)] - \lambda C_{P}^{(J)}[S, K, a(\xi), r_n(\tau - \xi), q, \t