Codeforces 484C Strange Sorting(置换)

题目要求对给定字符串进行多次特定置换操作D-sorting,每次操作涉及不同长度的子串。解题关键在于理解置换思想,并利用矩阵快速幂优化算法,处理字符串在循环移动过程中的变化,最终输出处理后的字符串。

题目链接:Codeforces 484C Strange Sorting

题目大意:给定一个长度为N的字符串,现在有M次询问,每次要从左向右逐个对长度为K的子串进行D-sorting,最后

输出生成的串。

解题思路:问题即为一个置换的思想,L对应的左移一位的置换,C对应的是D-sorting前K为的置换,每次执行完一次C

肯定执行一下L,保证D-sorting的为不同的K长度子串。用类似矩阵快速幂的思想对字符串进行求解,最后在有循环移

动对应的N-K位。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int maxn = 1e6+5;

int N, M, K, D, L[maxn];
int C[maxn], P[maxn], x[maxn], tmp[maxn];
char str[maxn];

void multi () {
    for (int i = 0; i < N; i++) tmp[i] = x[x[i]];
    for (int i = 0; i < N; i++) x[i] = tmp[i];
}

int main () {
    scanf("%s%d", str, &M);
    N = strlen(str);
    for (int i = 0; i < N; i++)
        L[i] = (i ? i - 1 : N - 1);

    while (M--) {
        scanf("%d%d", &K, &D);

        for (int i = 0; i < N; i++) C[i] = i;
        int mv = 0;
        for (int i = 0; i < D; i++) {
            for (int j = i; j < K; j += D)
                C[j] = mv++;
        }
        for (int i = 0; i < N; i++) P[i] = C[i];
        for (int i = 0; i < N; i++) x[i] = C[L[i]];

        int n = N - K;
        while (n) {
            if (n&1) {
                for (int i = 0; i < N; i++)
                    P[i] = x[P[i]];
            }
            multi();
            n >>= 1;
        }

        for (int i = 0; i < N; i++) tmp[P[i]] = str[i];
        for (int i = 0; i < N; i++) str[(i + (N - K)) % N] = tmp[i];
        printf("%s\n", str);
    }
    return 0;
}
### 解题思路 #### 问题描述 Codeforces 1678C - Tokitsukaze and Strange Inequality 是一道关于排列组合与前缀和的应用问题。给定一个长度为 \( n \) 的排列数组 \( p \),需要统计满足条件 \( a < b < c < d \) 并且 \( p_a < p_c \) 同时 \( p_b > p_d \) 的四元组数量。 --- #### 核心思想 由于数据规模较小 (\( n \leq 5000 \)),可以直接通过枚举的方式解决问题。为了降低时间复杂度,引入 **前缀和** 技术来加速计算过程[^3]。 具体来说: - 枚举变量 \( a \) 和 \( c \),固定它们之后,目标是快速找到符合条件的 \( b \) 和 \( d \)。 - 使用预处理好的前缀和数组 `num` 来高效查询某个范围内满足特定关系的数量。 - 定义辅助数组 `sum` 表示对于固定的区间范围内的某些约束条件下的累积计数结果。 --- #### 实现细节 ##### 步骤一:构建前缀和数组 `num` 定义二维数组 `num[i][j]`,其中 `num[i][j]` 表示在序列的前 \( i \) 项中,有多少个元素大于 \( j \)。 该数组可以通过如下方式初始化: ```python n = len(p) max_val = max(p) # 初始化 num 数组 num = [[0] * (max_val + 2) for _ in range(n + 1)] for i in range(1, n + 1): for j in range(max_val + 1, -1, -1): # 反向遍历以保持正确性 if p[i - 1] > j: num[i][j] = num[i - 1][j] + 1 else: num[i][j] = num[i - 1][j] ``` 上述代码的时间复杂度为 \( O(n \cdot m) \),其中 \( m \) 是数组中的最大值。 --- ##### 步骤二:定义并填充辅助数组 `sum` 定义另一个二维数组 `sum[i][j]`,它表示当 \( a=i \), \( c=j \) 时,在区间 \([a+1, c-1]\) 中满足 \( p[b] > p[d] \) 的总贡献次数。 利用动态规划的思想逐步更新此数组: ```python sum_ = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)] bucket = [0] * (max_val + 1) for l in range(n - 1, 0, -1): bucket[p[l]] += 1 for r in range(l + 2, n + 1): sum_[l][r] = sum_[l][r - 1] + (num[r - 1][p[r - 1]] - num[l][p[r - 1]]) ``` 这里的关键在于如何有效累加当前区间的合法贡献,并借助之前已经计算的结果减少重复运算。 --- ##### 步骤三:枚举所有可能的 \( a \) 和 \( c \) 最后一步是对所有的 \( a \) 和 \( c \) 进行双重循环,并将对应位置上的 `sum[a][c]` 加入最终答案中: ```python result = 0 for a in range(1, n - 2): for c in range(a + 2, n): result += sum_[a][c] print(result) ``` 整个算法的核心部分即完成以上三个阶段的操作即可实现高效的解决方案。 --- ### 总结 本题主要考察的是对多重嵌套结构的有效简化以及合理运用前缀和技巧的能力。通过巧妙设计的数据结构能够显著提升程序运行效率至可接受水平。
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