13、时间序列分析：自谱与互谱分析及数据插值

时间序列分析：自谱与互谱分析及数据插值

1. 互协方差与互相关序列

互协方差序列依赖于 $x(t)$ 和 $y(t)$ 的振幅。通过 $x(t)$ 和 $y(t)$ 的标准差对协方差进行归一化处理，可得到互相关序列。
Blackman - Tukey 方法使用互相关序列 $corr_{xy}(k)$ 的复傅里叶变换 $X_{xy}(f)$ 。复傅里叶变换 $X_{xy}(f)$ 的绝对值是互谱，而 $X_{xy}(f)$ 的角度代表相位谱。相位差在计算两个信号之间的超前和滞后关系时非常重要，这一参数常用于推断两个信号所代表过程之间的因果关系。两个谱之间的相关性可以通过相干性来计算，相干性是一个介于 0 到 1 之间的实数，0 表示无相关性，1 表示在频率 $f$ 处 $x(t)$ 和 $y(t)$ 之间具有最大相关性。显著的相干性是计算两个信号之间相移的重要前提。

2. 自谱与互谱分析示例

信号处理工具箱提供了多种计算时间序列谱估计的方法。MATLAB 引入面向对象编程后，推出了一组新的谱分析函数。可通过输入 help spectrum 获取面向对象谱分析的更多信息，不过非面向对象的谱分析函数仍然可用。

2.1 周期图法

周期图法由 Arthur Schuster 在 1898 年为研究气候而发明，该方法直接对序列进行傅里叶变换来计算功率谱，无需事先计算自相关序列。它可被视为 Blackman 和 Tukey（1958）方法在时间滞后 $k$ 设为 1 时的特殊情况。在 1958 年该方法提出时，通过自相关序列间接计算功率谱比直接对完整数据序列 $x(t)$ 进行傅里叶变换更快。但在 Cool