计蒜客题解——信息学1月CSP-J2模拟赛——B. 存款

解析计蒜客CSP-J2模拟赛B题，介绍如何通过二分查找解决存款问题，避免直接计算导致的数据溢出。

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题目链接

计蒜客信息学1月CSP-J2模拟赛B题，https://nanti.jisuanke.com/t/43039。

本题难度不大，但是题目出得非常的巧。

题目

DD 现在养成了在银行存款的好习惯，DD 存款的方式是每年放入 N 元并将之前的所有本金和利息也一起投进银行。在每一年年终，DD 的存款都会增长 P%（下取整到最近整数）。在 Y 年之后，她想拥有最少 T 元，DD 现在想知道，每年投入的 N 元最少是多少能够在 Y 年后获得最少 T 元。

输入格式

第一行三个整数，分别表示 P, Y, T。

输出格式

共一行，输出 N 最少是多少。

样例输入

100 2 300

样例输出

数据范围

对于 30% 的数据， $1 \leqslant Y \leqslant 10^{3}, 1 \leqslant T \leqslant 10^{3}$ 。

对于 60% 的数据， $1 \leqslant Y \leqslant 10^{3}, 1 \leqslant T \leqslant 10^{6}$ 。

对于 100% 的数据， $1 \leqslant Y \leqslant 10^{6}, 1 \leqslant T \leqslant 10^{9}, 1 \leqslant P \leqslant 100$ 。

题目分析

题目要求

题目的意思就是根据存款利率（P）、存款年份（Y）和最终金额（T），倒推出存款金额（N）。

本题注意几个细节：

1、每年的金额需要下取整到最近整数。

2、每年将本金和利息也一起投进银行。

数学推导

因此，我们可以推算出：

1、第一年： $N\ast (1+P\%)$ 。

2、第二年： $(N\ast (1+P\%)+N)\ast (1+P\%)=N\ast (1+P\%)^{2}+N\ast (1+P\%)$ 。

3、第三年： $((N\ast (1+P\%)+N)\ast (1+P\%))\ast (1+P\%)\\=N\ast (1+P\%)^{3}+N\ast (1+P\%)^{2}+N\ast (1+P\%)^{1}$ 。

4、...

Y、第Y年： $N\ast (1+P\%)^{Y}+N\ast (1+P\%)^{Y-1}+\cdots +N\ast (1+P\%)^{1}\\=N\ast((1+P\%)^{Y}+(1+P\%)^{Y-1}+\cdots +(1+P\%)^{1})$

也就是说 $T=N\ast((1+P\%)^{Y}+(1+P\%)^{Y-1}+\cdots +(1+P\%)^{1})\\\therefore \\N=\frac{T}{(1+P\%)^{Y}+(1+P\%)^{Y-1}+\cdots +(1+P\%)^{1}}$

问题归结到求出 $(1+P\%)^{Y}+(1+P\%)^{Y-1}+\cdots +(1+P\%)^{1}$ 这个值即可。说干就干，也许我们就可以写出这样的一个代码。

题目坑点

1、计算利息的时候要使用浮点数，而题目提供的P是整数。

2、每年计算需要下取整。

直接计算代码（只能通过2组数据）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    double p;
    int y, t;
    cin >> p >> y >> t;
    p = 1+p/100.0;

    double ans = 0;
    for (int i=0; i<y; i++) {
        ans += p;
        p *= p;
    }
    ans = t/ans;
    cout << (int)ceil(ans) << endl;

    return 0;
}

别急，我们分析一下数据规模，注意 $1 \leqslant Y \leqslant 10^{6}, 1 \leqslant P \leqslant 100$ ，我们来看一下这个数据 $(1+P\%)^{Y}+(1+P\%)^{Y-1}+\cdots +(1+P\%)^{1}$ ，当 $Y = 10^{6}, P=1$ 的时候将多大。 $1.01^{1000000}+1.01^{999999}+\cdots +1.01 > 1.01^{1000000}=2.36*10^{4321}$ 。

我去，这是一个天文数据，远远超过了C++最大的是数据类型unsigned long long的大小，也就是说只要数据量变大，这个程序就爆了。可以尝试提交一下，果然只能通过两组测试数据。

二分查找

由于数据量实在太大，没办法直接计算。我们可以知道，N的值范围必然是 $1 \leqslant N \leqslant T-1$ ，程序的思路变成假设一个N值，验算在这样条件下，经过Y年后，将得到的数据。

为了降低复杂度，我们可以使用过二分查找，这样本题就变成一个标准的二分查找模板题。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    double p;
    long long y, t;
    cin >> p >> y >> t;
    p = 1+p/100.0;

    //二分查找
    int left=1;
    int right=t;
    int mid;
    long long n;
    while (left<=right) {
        mid = (right+left)/2;

        //根据的钱，计算y年后
        n = 0;
        for (int i=0; i<y; i++) {
            n = (n+mid)*p;
            if (n>t) {
                break;
            }
        }
        if (n>t) {
            right = mid-1;
        } else if (n<t) {
            left = mid+1;
        } else {
            break;
        }
    }

    cout << mid << endl;

    return 0;
}