已知 $1\leq x \leq 2$，求 $\sqrt{x^2-2x+17}+\sqrt{-x^2-4x+29}$ 的最小值-优快云博客

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文章通过解析一个数学问题展示了如何运用均值不等式来找到代数表达式的最小值。在1≤x≤2的范围内，计算√(x²-2x+17)+√(-x²-4x+29)的最小值，首先平方优化问题，然后应用均值不等式简化计算，得出x=2时取得最小值。

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题目

已知 $1≤x≤21\leq x \leq 2$ ，求 $x2−2x+17+−x2−4x+29\sqrt{x^2-2x+17}+\sqrt{-x^2-4x+29}$ 的最小值

解析

我们注意到两个根式中的自变量都是 $x$ ，所以我们可以考虑将它们的平方和进行最小化。
设 $\sqrt{x^2-2x+17}+\sqrt{-x^2-4x+29}$
$y2=(x2−2x+17)+2(x2−2x+17)(−x2−4x+29)+(−x2−4x+29)y^2 = (x^2-2x+17) + 2\sqrt{(x^2-2x+17)(-x^2-4x+29)} + (-x^2-4x+29)$
$=−6x+46+2(x2−2x+17)(−x2−4x+29)=-6x+46+2\sqrt{(x^2-2x+17)(-x^2-4x+29)}$
接下来，我们希望求解使得 $y^2$ 最小的 $x$ 值。
根据均值不等式，对于非负数 $a$ 和 $b$ ，有 $ab≤a+b2\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$ 。
$2(x2−2x+17)(−x2−4x+29)≤2×(x2−2x+17)+(−x2−4x+29)2≤−6x+462\sqrt{(x^2-2x+17)(-x^2-4x+29)} \leq 2\times \frac{(x^2-2x+17) + (-x^2-4x+29)}{2}\leq -6x+46$
所以原式变为
$y2=−6x+46+2(x2−2x+17)(−x2−4x+29)≤−6x+46−6x+46≤−12x+92y^2 =-6x+46+2\sqrt{(x^2-2x+17)(-x^2-4x+29)}\leq -6x+46-6x+46\leq -12x+92$
$∵1≤x≤2\because 1\leq x \leq 2$
$∴x=2\therefore x=2$ 的时候， $y^2$ 最小。
$∴y2≤−12×2+92=68\therefore y^2 \leq -12\times 2+92=68$
$∴y≤68≤217\therefore y\leq \sqrt{68}\leq 2\sqrt{17}$ 当 $x = 2$ 时候最小