努力中的老周的专栏

问题提供两个数据 a，b，计算 a%b 的余数。你可能会觉得这个问题很简单。我们用 C++ 为例，如果 a 和 b 可以在 long long 表示范围，那么这个问题非常简单。但是如果 a 超过了 C++ 中 long long 都超过的数据，我们要如何求余数？计算过程分析比如求 443 % 3443\ \% \ 3443 % 3，我们先来演算一下。如下图，图像来自网络搜索。下面我们来解释一下完整的计算过程：1、第一个数字（百位）444：4%3=14\%3

算法竞赛中，我们经常需要使用到取模运算。下面总结一些取模操作，以备将来形成自己的算法支持包。typedef long long LL;加法取模目标实现 a+b 对 m 取模。函数原型LL modsum(LL a, LL b, LL m);实现LL modsum(LL a, LL b, LL m) { return ((a%m)+(b%m))%m;}减法取模目标实现 a-b 对 m 取模。函数原型LL modsub(LL a, LL b,

我们将分两个部分来说明高斯消去，第一部分是数学方面，第二个部分是如何用 C++ 来实现。第一部分 数学知识什么是高斯消去高斯消元法（或译：高斯消去法），是线性代数规划中的一个算法，可用来为线性方程组求解。高斯消元的目标是将矩阵变为上三角矩阵，例如，对应的矩阵为就是一个上三角矩阵（upper triangular matrix）。对于一个线性方程组，我们可以写出两个矩阵（系数矩阵 coefficient matrix 和增广矩阵 Augmented Matrix），如下图所示。.

常看到的一个数学题，在三角形的边上有若干个点，然后问可以有几个三角形。题目三角形的2条边上分别有m和n个点（不包括三角形的顶点），这些点分别同这两条边相对的顶点有连线，这样组成了一个复杂的图形，问这个图形中包含了多少个不同的三角形。题解一个排列组合题目。考虑以A为顶点的三角形数量， 线段[A1,B] 上任取2点，同A可以组成三角形，因此总数量为C(n+2, 2)。与[A1,B] 类似的线段，共有m+1 条。总数为：。考虑以B为顶点的三角形数量， 线...

整除/同余理论常见符号1、整除符号。表示 x 整除 y，即 x 是 y 的因数。2、取模符号。表示 x 除以 y得到的余数。3、互质符号。表示 x 和 y 互质。4、最大公约数gcd(x, y)。在无混淆意义的时候，可以写作 (x, y)。5、最小公倍数lcm(x, y)。在无混淆意义的时候，可以写作 [x, y]。数论常见符号1、求和符号。...

概述牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。牛顿法的几何意义上图中 y=f(x) 是一个可微函数。设 r 是 f(x)=0 的跟，选...

如下图：

我们在算法比赛中，经常要使用到常数 PI。有时候，使用 3.14 精度不够，我们可以这样定义常数 PI。#include <cmath>const double PI=acos(-1.0);这样定义，可以保证计算的精度。又充分利用到 C++ 得 const 特性。...

昨天收到某个初中生的题目，首先感谢同寝室的学霸好基友的提醒。题目描述如图，中，AC>BC，点 D、E 分别在 BC，AC上，且 ，AE=BD，求证 。思路利用正弦定理来求解。学霸可以考虑自己借一下。正弦定理的描述可以参考，https://blog.youkuaiyun.com/justidle/article/details/104508449。解法首先，我们在图上标注如...

正弦定理（The Law of Sines）是三角学中的一个基本定理。定理定义在任意 中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接园的半径为 R，直径为 D。则有：。即，一个三角形中，各边和所对角的正弦之比相等，且该比值等于该三角形外接园的直径（半径的2倍）长度。证明做一个边长为a，b，c的三角形，对应角分别是A，B，C。从角C向c边做垂线，得到一个长度为h的垂线和两个...

所谓的快速幂取模，就是快速的求一个幂式的模（余）。在程序设计过程中，经常要去求一些大数对于某个数的余数，为了得到更快、计算范围更大的算法，产生了快速幂取模算法。下面使用 为例。我们可以使用余数相关定理，https://blog.youkuaiyun.com/justidle/article/details/104450728，我们知道 。最朴素的方法先类乘计算幂，再计算模。int PowM...

概率顾名思义，快速幂就是快速算底数的 n 次幂。其时间复杂度为 O(log₂N)，与朴素的 O(N) 相比效率有了极大的提高。原理使用求 a 的 b 次方来解释。把 b 转换成二进制数，该二进制数第 i 位的权为 。例如：，11 的二进制为 1011，即 ，因此，可以将 转化为算 。这样原来计算 需要计算 11 次，通过快速幂只需要计算 3 次。从而降低了算法的复杂度。算法思路...

1、加法律：(a+b) mod c = ((a mod c) + (b mod c)) mod c。2、减法律：(a-b) mod c = ((a mod c) - (b mod c)) mod c。3、乘法律：(a*b) mod c = ((a mod c) * (b mod c)) mod c。4、次方律：。5、消去律：若 gcd(c,p) = 1，则 。...

理论背景数学上，两个整数除以同一个整数，若得相同余数，则二整数同余（英文：Modular arithmetic，德文：Kongruenz）。同余理论常被用于数论中。最先引用同余的概念与符号者为德国数学家高斯。同余理论是初等数论的重要组成部分，是研究整数问题的重要工具之一，利用同余来论证某些整除性的问题是很简单的。同余是数学竞赛的重要组成部分。同余定理给定一个正整数 m，如果两个整数 a...

基本定义阶乘阶乘近似公式排列组合基本定理Sperner定理从一个大小为 n 的集合里最多选出。二项式定理