12、弹性机械臂路径规划的有限元法与最优控制理论

弹性机械臂路径规划的有限元法与最优控制理论

1. 引言

机器人轨迹规划是一项极为复杂的任务，在机器人的设计和应用中起着关键作用。柔性机械臂相较于刚性机械臂，具有能实现更快运动以及更高的有效负载与臂重比等优势。然而，由于系统的柔性本质，其动力学方程具有高度的非线性和复杂性。

以往解决最优控制问题的方法各有优劣。例如，Wang等人使用B - Spline函数的直接方法来确定刚性机械臂的最大有效负载；Sasiadek和Green采用假设模态展开法推导固定基座柔性机械臂的动力学方程；还有基于迭代线性规划（ILP）的方法来确定柔性机械臂的最大允许动态负载（MADL）。但这些方法都存在一定局限性，如ILP方法在处理具有较大和波动非线性项的问题时，难以考虑链接的灵活性。

有限元方法（FEM）在建模柔性链接方面具有显著优势。它假设连接为无夹紧状态，每个链接至少有两种模态形状，并且能够轻松处理非线性条件。虽然有限元方法已用于解决复杂的结构工程问题，也可用于确定柔性移动机械臂在给定轨迹上的最大有效负载，但尚未用于寻找最优路径。

最优控制可采用开环和闭环策略。开环最优控制由于其离线性质，能更轻松地处理系统非线性和各种约束，常用于分析非线性系统，如不同类型机器人的轨迹优化。它可通过直接和间接方法求解，间接方法在系统自由度较多或目标优化时是更好的选择。

2. 多柔性链接机器人手臂的建模

使用有限元方法推导柔性机械臂的动力学方程，具体步骤如下：
1. 将机械臂的每个链接视为长度为 (L_i) 的 (n) 个元素的组合。
2. 计算每个元素的动能 (T_{ij}) 和势能 (V_{ij})（其中 (i) 和 (j) 分别指链接