集合幂集与图的形式化描述解析

29、如果集合C有c个元素，那么集合C的幂集有多少个元素？请解释你的答案。

若集合 $ C $ 有 $ c $ 个元素，那么集合 $ C $ 的幂集元素个数为 $ 2^c $ 个。

原因是对于集合 $ C $ 中的每个元素，在幂集的某个子集中都有两种状态：存在或不存在。所以总的子集个数就是 $ 2 \times 2 \times \cdots \times 2 $（共 $ c $ 个 2 相乘），即 $ 2^c $ 个。

30、写出图的形式化描述，并举例说明。

若为有向图，形式化描述为 $ (V, E) $，其中 $ V $ 是节点集，$ E $ 是边集。

例如，有一个图节点集为 $ {1,2,3,4,5,6} $，边集为 $ {(1,2), (1,5), (2,1), (2,4), (5,4), (5,6), (6,1), (6,3)} $，其形式化描述是
$$
({1,2,3,4,5,6}, {(1,2), (1,5), (2,1), (2,4), (5,4), (5,6), (6,1), (6,3)})
$$

另一个图节点集为 $ {1, 2, 3, 4} $，边集为 $ {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)} $，其形式化描述是
$$
({1, 2, 3, 4}, {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)})
$$

31、设S(n) = 1 + 2 + … + n为前n个自然数的和，C(n) = 1³ + 2³ + … + n³为前n个自然数立方的和。通过对n进行归纳法证明以下等式，从而得出一个有趣的结论：对于任意的n，C(n) = S²(n)。a. 证明S(n) = 1/2n(n + 1)；b. 证明C(n) = 1/4(n⁴ + 2n³ + n²) = 1/4n²(n + 1)²。

需运用数学归纳法进行证明。

对于 a：

1. 先验证 $ n = 1 $ 时等式成立；
2. 再假设 $ n = k $ 时成立；
3. 推导 $ n = k + 1 $ 时也成立。

对于 b：

同理。

结论：

最终可得出
$$
C(n) = S^2(n)
$$

32、证明每个具有两个或更多节点的图都包含两个度数相等的节点。

以下是一种常见证明思路：

设图有 $ n $（$ n \geq 2 $）个节点，节点度数可能取值为 $ 0 $ 到 $ n - 1 $。

• 若有节点度数为 $ 0 $，意味着该节点与其他节点都不相连，那么就不可能有节点度数为 $ n - 1 $；
• 反之，若有节点度数为 $ n - 1 $，就不可能有节点度数为 $ 0 $。

所以节点度数的实际取值最多有 $ n - 1 $ 种。

而图中有 $ n $ 个节点，根据抽屉原理，必然至少有两个节点的度数相等。

33、给出能生成以下语言的上下文无关文法，所有部分的字母表 Σ 为 {0, 1}。a. {w | w 包含至少三个 1} b. {w | w 以相同的符号开头和结尾} c. {w | w 的长度为奇数} d. {w | w 的长度为奇数且中间符号为 0} e. {w | w = wR，即 w 是回文串} f. 空集

a. 设文法 G = (V, Σ, R, S)，其中
- V = {S, A, B, C}
- Σ = {0, 1}
- R 包含规则：
- S → A1B1C1
- A → 0A | 1A | ε
- B → 0B | 1B | ε
- C → 0C | 1C | ε

b. 设文法 G = (V, Σ, R, S)，其中
- V = {S, A}
- Σ = {0, 1}
- R 包含规则：
- S → 0A0 | 1A1
- A → 0A | 1A | ε

c. 设文法 G = (V, Σ, R, S)，其中
- V = {S, A}
- Σ = {0, 1}
- R 包含规则：
- S → 0A | 1A
- A → 0A0 | 0A1 | 1A0 | 1A1 | 0 | 1

d. 设文法 G = (V, Σ, R, S)，其中
- V = {S, A}
- Σ = {0, 1}
- R 包含规则：
- S → A0A
- A → 0A0 | 0A1 | 1A0 | 1A1 | ε

e. 设文法 G = (V, Σ, R, S)，其中
- V = {S}
- Σ = {0, 1}
- R 包含规则：
- S → 0S0 | 1S1 | 0 | 1 | ε

f. 设文法 G = (V, Σ, R, S)，其中
- V = {S}
- Σ = {0, 1}
- R 为空集

34、给出能生成以下语言的上下文无关文法：a. 字母表 {a, b} 上 a 的数量多于 b 的数量的字符串集合；b. 语言 {aⁿbⁿ | n ≥ 0} 的补集；c. {w#x | wᴿ 是 x 的子串，其中 w, x ∈ {0, 1} }；d. {x₁#x₂# · · · #xₖ | k ≥ 1，每个 xᵢ ∈ {a, b} ，并且对于某些 i 和 j，xᵢ = xⱼᴿ }

以下是这些问题的上下文无关文法示例：

a.

S → aS | Sa | aAaA  
A → aA | Aa | bA | Ab | ε

b.

S → aS | Sb | aSb | bSa | a | b

c.

S → X#Y  
X → 0X | 1X | ε  
Y → 0Y | 1Y | Z  
Z → XZ | ε

d.

S → T#S | T  
T → aT | bT | Ta | Tb | ε

注意，这些文法可能不是唯一的，并且需要进一步验证其正确性。

35、给出一个上下文