8、不可判定性与递归定理深入解析

不可判定性与递归定理深入解析

1. 多项式时间图灵机集合的不可枚举性

存在集合 $S = {i | M_i$ 以多项式时间运行 $}$，它包含了所有以多项式时间运行的图灵机的编码。不过，这个集合甚至不是可计算枚举的。需要注意的是，$S$ 并非索引集，所以不能运用 Rice 定理来得到此结果。

2. 图灵归约与神谕图灵机

2.1 图灵归约的基本概念

若对于两个集合 $A$ 和 $B$ 有 $A \leq_m B$，那就存在一个全可计算函数 $f$，使得 $x \in A \Leftrightarrow f(x) \in B$。借助这个归约，能够定义一个 $A$ 的接受器算法，该算法会对集合 $B$ 进行子程序调用：

begin
    input x;
    if f(x) ∈B then accept else reject;
end.

我们可以考虑包含对 $B$ 进行子程序调用的最通用的程序集合。我们期望编写一个 $A$ 的接受器程序，并且允许它进行形如 “$y \in B$” 的子程序调用。若布尔测试为真，这些调用应返回真；反之则返回假。这样的程序被称作归约过程，而集合 $B$ 被称为神谕。

2.2 神谕图灵机的定义

由于我们使用的编程语言是图灵机，所以通过扩展图灵机的概念，使图灵机能够进行子程序调用（这里称为神谕调用），从而让上述概念更精确。神谕图灵机是一种带有特殊神谕带以及三个特殊状态（$Q$、$YES$ 和 $NO$）的图灵机。当图灵机进入状态 $Q$ 时，下一个状态是 $