9、可计算性、不可判定性与复杂度理论

可计算性、不可判定性与复杂度理论

1. 额外作业问题

1.1 作业概述

这里有一系列关于可计算性和不可判定性的作业问题，涵盖了集合性质、图灵机判定、语言复杂度等多个方面。以下是部分作业问题的列举：
|作业编号|问题描述|
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|3.15|证明每个无限可判定集都有一个不可判定的可计算枚举子集。|
|3.16|设 A 是一个不可判定的可计算枚举集，B 是 A 的一个无限可判定子集。证明 A - B 是一个不可判定的可计算枚举集。|
|3.17|证明如果 A 是一个可判定语言，那么连接 AA 也是可判定的，并给出一个例子说明反之不成立。|
|3.18|部分函数 f 的图是集合 {⟨x, f(x)⟩| f(x) ↓}。证明一个部分函数 f 是部分可计算的，当且仅当它的图是可计算枚举的。|
|3.19|证明判定一个图灵机在空白磁带上启动时是否会写入非空白符号是可判定的。|
|3.20|证明判定一个图灵机是否对每个具有偶数个符号的输入字都停机是不可判定的。|
|3.21|给出一个非平凡语言 L（即 L ≠ Σ∗ 且 L ≠ ∅）的例子，使得 L 不能多对一归约到 L。|
|3.22|设 A 和 B 是不相交的可计算枚举集。证明 A ≤T A∪B 且 B ≤T A∪B。|
|3.23|给定不相交的集合 A 和 B，如果 A ⊆ C 且 C ∩ B = ∅，则称集合 C 分离 A 和 B。证明如果 A 和 B 是不相交的可计算枚举集，那么存在一个可判定集分离它们。|
|3.24|1. 给出集合 A、B 和 C 的例子，使得 A ⊆ B，B ⊆ C，A 和 C 是可判