7、可计算性与不可判定性相关理论解析

可计算性与不可判定性相关理论解析

1. 可计算枚举集与相关定理

可计算枚举集（Computably Enumerable，简称 c.e.）是可计算性理论中的重要概念。有如下重要结论：
- 推论 3.2 ：一个集合 (S) 是可计算枚举的，当且仅当 (S) 是某个部分可计算函数的定义域。
- 证明 ：部分可计算函数的定义域是图灵机可接受的，所以是可计算枚举的。反之，如果 (S) 是可计算枚举的，定义部分可计算函数 (f_S(x)) 为：若 (x \in S)，则 (f_S(x) = 0)；否则 (f_S(x)) 无定义。这样 (S) 就是 (f_S) 的定义域。
- 作业相关问题 ：
- 作业 3.4 ：证明一个无限集是可判定的，当且仅当它可以由一个一一的全可计算函数按升序枚举。
- 作业 3.5 ：证明如果 (A) 和 (B) 是可计算枚举的，那么 (A \cup B) 和 (A \cap B) 也是可计算枚举的。
- 作业 3.6 ：证明每个无限可计算枚举集都包含一个无限可判定子集。

2. 停机问题、归约和完全集

2.1 停机问题

停机问题是图灵机理论中著名的不可判定问题。
- 停机问题描述 ：
- 实例 ：一个图灵机 (M) 和输入字 (w)。
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