13、不规则等长正交凸多边形与等长直方图多边形的重建算法

不规则等长正交凸多边形与等长直方图多边形的重建算法

在几何图形的研究中，从可见性图重建多边形是一个重要的问题。本文将详细介绍不规则等长正交凸多边形（IUP）和等长直方图多边形的重建算法。

1. 不规则等长正交凸多边形（IUP）的重建

1.1 基本概念

• 可见性图 ：设 $G_P$ 是 IUP $P$ 的可见性图。
• 凸顶点和反射顶点 ：在 $O(n^2m)$ 时间内计算出 IUP 中的凸顶点和反射顶点。
• 标签（Tabs） ：IUP 中有四个特殊的顶点，称为标签。

1.2 寻找标签

• 引理 4 ：每个 IUP 中恰好有四个 7 顶点的最大团，每个团包含恰好三个凸顶点，且每个团包含恰好一个标签，每个标签恰好包含在一个这样的团中。
• 引理 5 ：可以在 $O(nm)$ 时间内识别 IUP 的四个标签。

1.3 确定楼梯方向

• 任意选择一个标签作为北标签，通过计算基本团来确定多边形的方向，使得西北楼梯较短，东北楼梯较长。
• 基本团定义 ：IUP 中的基本团是一个最大团，包含恰好三个凸顶点，一个来自短楼梯，一个来自每个长楼梯。
• 引理 6 ：可以在 $O(nm)$