10、平面图形的障碍数研究

平面图形的障碍数研究

1. 研究成果概述

• 平面障碍数的定义 ：对于平面图形 $G$，其平面障碍数 $pobs(G)$ 定义为通过 $G$ 的直线平面绘图和一组障碍物来实现 $G$ 所需的最少障碍物数量。对于 $n \in N$，进一步定义 $pobs(n) = \max_{|G|=n, G 平面} pobs(G)$。
• 相关定理
  • 定理 1 ：对于 $n \geq 4$，$pobs(n) = n - 3$。
  • 定理 2 ：对于每个具有 $n \geq 5$ 个顶点和 $m$ 条边的连通平面图形 $G$，有不等式 $\max{m - n + 1 - tr - faces(G), 1} \leq pobs(G) \leq \max{m - n + 1 - \lfloor tr - faces(G)/2\rfloor, 1}$。更精确地，如果 $tr - faces(G) \leq 1$，则有：
    • 当 $tr - faces(G) = 0$ 时，$pobs(G) = \max{m - n + 1, 1}$；
    • 当 $tr - faces(G) = 1$ 时，$pobs(G) = \max{m - n, 1}$。
  • 定理 3 ：设 $G$ 是一个 PURE - 2 - DIR 图形（即可以由两个方向的直线段相交表示的图形，且同