圆盘定理

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#圆盘定理 #盖尔圆盘 #特征值 #估计

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上述定理表明，矩阵的 n 个复特征值落在复平面的 n 个圆盘的并集之中，因而可以用来估计矩阵的特征值大小。

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摘自《系统与控制理论中的线性代数》黄琳著。

【通信】盖氏圆盘方法（GDE）计算均匀直线阵（ULA）中信号源个数附matlab代码
qq_59747472的博客
02-16 1506
1 简介 信源数估计是空间谱估计中的关键技术,研究符合实际应用环境的稳健的信源数估计方法具有十分重要的现实意义.基于空间谱估计中用于估计信源数的传统盖氏圆盘法，该程序用于计算均匀直线阵（ULA）中信号源个数估计性能随SNR的变化情况,采用Monte-Carlo模拟。​ 2 完整代码 %该程序用于计算均匀直线阵（ULA）中信号源个数估计性能随SNR的变化情况,采用Monte-Carlo模拟。%算法:GDE%by GangLi%======================================
矩阵特征值估计
quaer的博客
09-29 1270
Gerschgorin圆盘：设 A=(aij)n×n 为实方阵，则称复平面上以 aii 为中心， 以ri=∑j=1,j≠in|ai,j| 为半径的 n 个圆盘称为Gerschgorin圆盘。
「管理数学基础」1.7 矩阵理论：方阵特征值估计、圆盘定理、谱与谱半径
记录学习痕迹的公众号：Piper蛋窝
12-11 5383
估计特征值的一些基本思想与技巧。
矩阵理论——Gerschgorin定理，以及用python绘制Gerschgorin圆盘动图
weixin_45827703的博客
11-20 1309
其中，D(i)表示第i个Gerschgorin圆盘，aii表示矩阵A的第i行（或第i列）的对角线元素，aij表示矩阵A的第i行（或第i列）的非对角线元素。为了更好的理解这个定理，用python绘制动图，将更好理解这个过程。
《强化学习数学原理》学习笔记2——贝尔曼方程matrix-vector形式解析解的可逆性证明
weixin_51418895的博客
09-30 636
对于n阶复方阵Aaijn×nAaij​n×n​（其中aija_{ij}aij​表示第i行第j列的元素，ij12nij12...n圆盘中心：第i行的对角线元素aiia_{ii}aii​（复数，对应复平面上的一个点）；圆盘半径：第i行所有非对角线元素的模长之和，记为rir_iri​，即：ri∑j1j≠in∣aij∣ri​j1ji​∑n​∣aij​∣。
高等代数复习：特征值的估计
2301_76884115的博客
05-11 1264
本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用。
6.4 Gershgorin圆盘定理
你的指尖有改变世界的力量
01-19 8629
介绍了预估特征值分布范围的圆盘定理。
【控制】盖尔圆盘定理
赵继超的笔记
11-04 7427
盖尔圆盘定理盖尔圆盘定理 盖尔圆盘定理 指出方阵 AAA 的每个特征值至少位于一个圆盘中，圆盘的中心是 AAA 的对角线元素，半径是每行中元素的总和。 From: Gerschgorin 圆盘 From: s
TSX盖尔圆盘定理学习教案.pptx
12-27
TSX盖尔圆盘定理，也称为Gerschgorin圆盘定理，是线性代数中的一个重要概念，特别是在研究矩阵的特征值分布时非常有用。该定理由苏联数学家Ivan Matveyevich Gerschgorin提出，主要用于估算复数矩阵的特征值的大致...
证明题 利用圆盘定理
weixin_50556981的博客
01-03 1229
课堂例题
Gersgorin 圆盘
weixin_30932215的博客
01-08 2109
将学习到什么 好多. Gersgorin 圆盘定理 对任何 \(A \in M_n\)，我们总可以记 \(A=D+B\)，其中 \(D=\mathrm{diag}(a_{11},\cdots,a_{nn})\) 集中展现了 \(A\) 的主对角线，而 \(B=A-D\) 的主对角线为零. 如果我们令 \(A_{\varepsilon} = D+\varepsilon B\)，那么 \(A...
盖尔元盘定理
tanga_cc的博客
11-25 8297
矩阵分析学习（六）
）梦想之深邃（
09-18 3725
一、特征值的界估计 定义1：若n阶复数矩阵A=(aij)m*n的特征值的集合（A的谱）为{λ1，λ2，.....，λn}，则有不等式 当且仅当A为正规矩阵时等号成立； 二、圆盘定理 圆盘定理用于对矩阵的特征值在复数平面上的位置做出准确的估计； 定理2：设A=(aij)为任一n阶复数矩阵，则A的特征值都在复数平面的n个圆盘 |z-aii|<=Ri （i为自然数集合，aii是矩阵对角...
矩阵第四章复习总结
我的梦
01-15 4225
目标：学习特征值的估计、盖尔圆估计、Raleigh商三部分
[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.11
weixin_33923762的博客
10-29 206
11. (Gersgorin 圆盘定理) 用 $\sigma(A)$ 表示 $A=(a_{ij})\in M_n$ 的特征值的集合, 记 $$\bex D_i=\sed{z\in\bbC;\ |z-a_{ii}|\leq \sum_{j\neq i}|a_{ij}|},\quad i=1,\cdots,n. \eex$$ 证明: $$\bex \sigma(A)\subset \cup_{i=1}...
南京理工大学-高等工程数学复习笔记第二章
m0_46654608的博客
11-22 1303
对于这个Jordan标准形，虽然1存在两次，但是它们是分开的，这代表这个对应的矩阵可以对角化。需要具备n个不同的特征值、对应到Jordan标准形中，即主对角元元素必须割开。：只需要简单地得到矩阵的不同盖尔圆盘，例如G。计算得到了不变因子。迭代得到的结果也如上。
矩阵理论复习（十一）
Caramel_biscuit的博客
02-09 3748
零元素、负元素唯一。
矩阵理论复习（五）
Caramel_biscuit的博客
12-11 7099
Hermite矩阵酉相似于对角阵 验证相容矩阵范数 盖尔圆盘互不相交，则特征值都不相同，若盖尔圆盘全部出现在右半复平面上，则特征值全为实数。 矩阵二范数的计算 最大秩分解+M-P广义逆矩阵+方程是否有解 正定矩阵，对任意非零向量X，其正定二次型都大于0 矩阵二范数与特征值之间的转换 AA-为幂等矩阵，幂等矩阵特征值非零即一，A≠0，rank(A)=rank(AA-)≥1，所以AA-特征值必为1 初等酉变换对应的酉矩阵，酉矩阵的算子范数为1 矩阵的特征值小于等于任意相容的矩阵范数 严格对角占优矩阵，A的最
加权盖尔圆定理
最新发布
11-28
<think> 嗯，用户这次在问加权盖尔圆定理的具体内容。从用户引用的资料片段来看，ta应该正在研究矩阵特征值估计相关的内容，尤其是盖尔圆盘定理及其变体应用。用户引用的三个资料中，第一个展示了Matlab绘制标准盖尔圆的代码，第二个提到瑞利商与特征值的关系，第三个则涉及通信领域的信源数估计应用——这些背景知识对理解加权盖尔圆都很重要。 用户特别强调“加权”这个修饰词，说明ta可能已经了解标准盖尔圆定理，现在需要进阶内容。考虑到ta引用的材料包含通信领域的应用，或许ta是电子工程或应用数学方向的研究者？需要重点解释权重矩阵的物理意义。 关于定理本身，核心突破点在于权重矩阵D的引入。标准盖尔圆定理中每个圆盘的半径是行元素绝对值之和，但加权版本通过相似变换$D^{-1}AD$改变了矩阵的度量空间。这点必须结合瑞利商来解释：当用户引用[2]提到$max R(x) = \max \lambda$时，其实已经暗示了特征值与二次型的关联。不过加权版本需要扩展到广义特征值问题$D^{-1}Ax = \lambda x$，这个过渡要讲清楚。 具体写作时，要突出两个关键创新：一是权重如何压缩圆盘半径（从$\sum |a_{ij}|$到$\sum |a_{ij}|\sqrt{d_j/d_i}$），二是为何这种压缩能改进估计精度。用户引用的代码里用rectangle函数画圆，这倒提醒我可以建议ta修改代码中的半径计算部分来实现加权版本。 最后生成的问题要引导用户深入思考应用场景，比如为什么通信领域特别需要加权改进（可能因为天线阵列接收信号的协方差矩阵具有特殊结构）。不过要注意避免直接引用用户未提供的论文细节，保持解释的普适性。 </think> 以下是关于加权盖尔圆定理的详细介绍，结合其数学原理和应用场景： ### **加权盖尔圆定理** **核心思想**：在标准盖尔圆盘定理的基础上引入权重矩阵，通过相似变换优化特征值估计精度。 设 $A = (a_{ij}) \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 为复矩阵，$D = \text{diag}(d_1, d_2, \dots, d_n)$ 为正定对角矩阵（$d_i > 0$），则加权盖尔圆定义为： $$ G_i^D(A) = \left\{ z \in \mathbb{C} : \left| z - a_{ii} \right| \leq \frac{1}{d_i} \sum_{j \neq i} d_j |a_{ij}| \right\} $$ **定理结论**：矩阵 $A$ 的所有特征值 $\lambda$ 满足： $$ \lambda \in \bigcup_{i=1}^n G_i^D(A) $$ --- ### **关键改进与数学原理** 1. **相似变换的作用** 对 $A$ 作相似变换：$\tilde{A} = D^{-1}AD$。 变换后矩阵 $\tilde{A}$ 的对角元素不变（$\tilde{a}_{ii} = a_{ii}$），非对角元素缩放：$\tilde{a}_{ij} = a_{ij} \cdot \frac{d_j}{d_i}$。 标准盖尔圆定理应用于 $\tilde{A}$ 得： $$ \left| \lambda - a_{ii} \right| \leq \sum_{j \neq i} \left| \tilde{a}_{ij} \right| = \frac{1}{d_i} \sum_{j \neq i} d_j |a_{ij}| $$ 此即加权盖尔圆的半径定义[^2]。 2. **精度提升原因** 通过调整权重 $d_i$，可压缩特定圆盘半径。例如： - 若某行非对角元素绝对值较大，增大 $d_i$ 可缩小该圆盘； - 权重选择策略：常取 $d_i = |a_{ii}|^\alpha$（$\alpha \in \mathbb{R}$），或依据实际问题的矩阵结构设计。 --- ### **应用场景** 1. **信号处理** 在均匀直线阵（ULA）信源数估计中，通过加权盖尔圆优化特征值分布，提升信号源数量检测的鲁棒性[^3]。 2. **特征值敏感度分析** 对病态矩阵（如对角占优性弱的矩阵），权重调整可分离重叠的盖尔圆，更精确定位特征值。 3. **迭代法加速收敛** 在求解线性方程组时，权重设计可改善系数矩阵的谱性质，提升迭代效率。 --- ### **MATLAB 实现示例** ```matlab function plotWeightedGersgorin(A, D) n = size(A,1); centers = diag(A); % 圆心 = 对角元素 weighted_radii = zeros(n,1); for i = 1:n weighted_radii(i) = (1/D(i,i)) * sum( D(:,i) .* abs(A(i,:))' ) - abs(A(i,i)); end % 绘制加权盖尔圆 figure; hold on; for i = 1:n theta = linspace(0, 2*pi, 100); x = real(centers(i)) + weighted_radii(i) * cos(theta); y = imag(centers(i)) + weighted_radii(i) * sin(theta); plot(x, y, 'b'); scatter(real(centers(i)), imag(centers(i)), 'ro'); end grid on; title('Weighted Gershgorin Disks'); end ``` > **调用示例**： > `A = [3, 0.5, 0.1; 0.2, 5, 1; 0.3, 0.4, 4+2i];` > `D = diag([2, 1, 1.5]);` % 自定义权重矩阵 > `plotWeightedGersgorin(A, D);` --- ### **与标准盖尔圆的对比** | **指标** | 标准盖尔圆 | 加权盖尔圆 | |------------------|-------------------------------|-------------------------------| | **圆盘半径** | $R_i = \sum_{j \neq i} |a_{ij}|$ | $R_i^D = \frac{1}{d_i} \sum_{j \neq i} d_j |a_{ij}|$ | | **灵活性** | 固定半径 | 可通过 $D$ 优化半径 | | **适用范围** | 任意复矩阵 | 需设计合适的 $D$ | | **特征值估计精度** | 可能保守 | 通常更紧致 |
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