实对称阵的谱半径是连续函数

矩阵的诱导范数（算子范数）的定义：$$||A||=\underset{||x||=1}{\sup }||Ax||$$其中，||·||可以是任何向量范数，由于该矩阵范数是由向量范数诱导出来的，所以称其为诱导范数。

比如，由向量的 $l_2$ 范数诱导出来的矩阵范数为：$$||A|{|}_2=\sqrt{{\lambda }_{max}(A^{\ast }A)}$$证明见博主的另一篇博文。

诱导范数的齐次性和正定性是显然的，下面证明诱导范数是满足三角不等式的：$$||A+B||\le ||A||+||B||$$

---

证明：
$$||A+B||=\underset{||x||=1}{\sup }||(A+B)x||=||(A+B)x^{\ast }||$$则$$\begin{gathered} ||A||=\underset{||x||=1}{\sup }||Ax||\ge ||A{x}^{\ast }|| \\ ||B||=\underset{||x||=1}{\sup }||Bx||\ge ||B{x}^{\ast }|| \end{gathered}$$故$$||A+B||\le ||A||+||B||$$

---

我们来证明矩阵 A 的任意诱导范数都不小于其谱半径：$$||A||\ge \rho (A),\forall A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$$

---

证明：
由诱导范数定义得：$$||A||\ge \frac{||Ax||}{||x||},\forall x\in {\mathbb{R}}^n$$对谱半径 $\rho (A)=|{\lambda }^{\ast }|$，有 $A{x}^{\ast }={\lambda }^{\ast }{x}^{\ast }$，所以$$||A||\ge \frac{||A{x}^{\ast }||}{||x^{\ast }||}=\frac{||{\lambda }^{\ast }{x}^{\ast }||}{||x^{\ast }||}=|{\lambda }^{\ast }|=\rho (A)$$

---

下面我们来证明实对称阵的谱半径是矩阵元素的连续函数：

当对称矩阵 A 的元素发生微小的变化，即施加一个小扰动 E，则有$$\rho (A+E)\le ||A+E|{|}_2\le ||A|{|}_2+||E|{|}_2=\rho (A)+||E|{|}_2$$所以$$\rho (A+E)-\rho (A)\le ||E|{|}_2=\sqrt{{\lambda }_{max}(E^{T}E)}$$由于 E 是微小的扰动，可知 $E^{T}E$ 的元素是充分小的，进而由圆盘定理可知，$E^{T}E$ 的所有特征值都是充分小的，可得 $\rho (A)$ 的变化也是充分小的。证明谱半径是矩阵元素的连续函数。