高等代数复习：特征值的估计

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特征值的估计

戈氏圆盘第一定理（Gerschgorin（戈尔斯格里）圆盘定理）
令 $R_i$ 表示 $A$ 的第 $i$ 行元素去掉 $a_{ii}$ 后的模长之和，即
$$R_i=\sum _{j=1,j\ne i}^n|a_{ij}|$$

设 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$ 是 $n$ 阶复矩阵，则 $A$ 的特征值在复平面上的下列圆盘（戈氏圆盘）中：
$$|z-a_{ii}|\le R_i,i=1,2,\dots ,n$$

证明
即证任取特征值 $\lambda$，存在一个戈氏圆盘包含它

设 $Ax=\lambda x$，$x$ 的分量中 $x_r$ 模最大，则
( λ 0 − a r r ) x r = a r 1 x 1 + ⋯ + a r , r − 1 x r − 1 + a r , r + 1 x r + 1 + ⋯ + a r n x n (\lambda_0-a_{rr})x_r=a_{r1}x_1+\cdots+a_{r,r-1}x_{r-1}+a_{r,r+1}x_{r+1}+\cdots +a_{rn}x_n (λ0​−a