欧拉函数

对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（因此φ(1)=1）。此函数以其首名研究者欧拉命名(Euler’s totient function)，它又称为Euler’s totient function、φ函数、欧拉商数等。

$$\varphi (x)=x(1-\frac{1}{p_1})\cdots (1-\frac{1}{p_k})$$

其中 $p_1,p_2,\dots ,p_k$ 为 $x$ 的所有质因数，$x$ 是不为0的整数。

• 定义 φ(1)=1（和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。

比如$12=2\times 2\times 3$那么
$$\varphi (12)=\varphi (4\times 3)=\phi （2^2\ast 3^1）=（2^2-2^1）\ast （3^1-3^0）=4$$

设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值 φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。

特殊性质：

• 欧拉函数是积性函数——若m,n互质，则$\varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n)$
• 当n为奇质数时，则$\varphi (2n)=\varphi (n)$，证明与上述类似。
• 若n为质数，则$\varphi (n)=n-1$