欧拉函数入门

What is Euler function

对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（φ(1)=1）。
例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。

性质：

1. 若n是素数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质 。
2. 欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n) 
3. phi(p)=p-1（p为质数）
4. 当n为奇数时，φ(2n)=φ(n)​​​​​​​。因为2必定和所有的奇数互质，故φ(2n)=φ(2)*φ(n)。
5. n的所有质因子之和等于φ(n)*n/2（这不算性质，只能算延伸）。
6.  

How to calculate Euler function

通式

φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn) 
其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数 

int getphi(int n){//O(√n)
    int rea = n;
    for (int i = 2; i * i <= n; i ++) {
        if(n % i == 0) {
            rea = rea - rea / i;
            do{
                n /= i;
            }while(n % i == 0);
        }
    }
    if(n > 1)
        rea = rea - rea / n;
    return rea;
}

int phi(int n){//O(n)
	int res = n;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(n%i == 0){
			res = res - res/i;
			while(n%i==0) n /= i;
		}
		if(n == 1) break;
	}
	return res;
}

欧拉筛求欧拉函数

同时晒出素数

int phi[maxn],pri[maxn],tot;
bool mark[maxn];
void getphi() {
	phi[1] = 1;
	for(int i=2; i<maxn; i++) {	
		if(mark[i]==0) {pri[++tot] = i;phi[i] = i-1;}//i is prime
		for(int j=1; j<=tot&&pri[j]*i<maxn; j++) {
			int x = pri[j];
			mark[i*x] = 1;
			if(i%x == 0) {phi[i*x] = phi[i]*x;break;} 
			else phi[i*x] = phi[i]*phi[x];
		}
	}
}

埃拉托斯特尼筛求欧拉函数

 

 

例题

POJ2478 板子题，一开始找规律找错了应该是质数而不是奇数。