40、逻辑回归与儿童白血病持续缓解预测

逻辑回归与儿童白血病持续缓解预测

1. 逻辑回归中的估计方法

1.1 完全或准完全分离的检测

在逻辑回归中，标准误差变得更合理时，对于单个协变量 X，可通过对其值排序并与 Y 值比较，轻松检测完全或准完全分离。若有多个协变量，可使用 Santner 和 Duffy 提出的算法来确定最大似然估计是否存在。在实际数据集中，完全或准完全分离并不常见，因为其出现几乎只要求二分协变量。但在小样本或稀疏数据集的回归中估计多个参数时，分离出现的概率不可忽略。

对于二分协变量，可通过分析相应的列联表来检测分离。以神经生理学为例，我们想确定运动神经元影响下肌梭放电的预测因素。感兴趣的协变量包含在求和与恢复函数中，可通过逻辑回归模型同时研究这些协变量对系统放电的影响。在α运动神经元数据集的情况下，常用软件包大多失败，因为最大似然估计不存在。这是因为协变量 Xt - 13 取值为 1 的所有观测都出现在输出尖峰缺失（Y = 0）时，列联表中 Xt - 13 = 1 且 Y = 1 的单元格为空，单个频率为零的单元格表明存在准完全分离，这会导致最大似然估计出现问题，出现极端估计值和非常大的标准误差。

1.2 精确逻辑回归

精确逻辑回归由 Cox 于 1970 年提出，其参数估计基于消除似然函数中剩余的参数，并以其充分统计量为条件。似然函数可表示为：
[P(Y_1 = y_1, Y_2 = y_2, \ldots, Y_n = y_n) = \frac{\exp(\sum_{s = 0}^{p} \beta_s t_s)}{\prod_{i = 1}^{n} (1 + \exp(x_i \beta))}]
其中
[t_s = \