牛客算法题 机器人走方格II 动态规划

题目描述

有一个XxY的网格，一个机器人只能走格点且只能向右或向下走，要从左上角走到右下角。请设计一个算法，计算机器人有多少种走法。注意这次的网格中有些障碍点是不能走的。

给定一个int[][] map(C++ 中为vector >),表示网格图，若map[i][j]为1则说明该点不是障碍点，否则则为障碍。另外给定int x,int y，表示网格的大小。请返回机器人从(0,0)走到(x - 1,y - 1)的走法数，为了防止溢出，请将结果Mod 1000000007。保证x和y均小于等于50

 

题解:该题首先想到的是用DFS递归求解，但是数据太大，会超时或者超内存。但是仔细思考，该题存在最优子结构，所以使用动态规划来求解。

 

适合使用动态规划求解的问题：

1，最优子结构
母问题的最优解包含其子问题的最优解，我们就称此问题具有最优子结构。即也就是说，子问题最优时，母问题通过优化一定能求得最优解
2，子问题重叠
子问题本质上是和母问题一样的，只是问题的输入参数不一样，就可以称之为子问题重叠，这是动态规划解决问题的高效的本质所在，我们可以利用很多子问题具有相同的输入参数这一个性质，来减少计算量。

能采用动态规划求解的问题的一般要具有3个性质：

1.最优化原理：如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，就称该问题具有最优子结构，即满足最优化原理。

2.无后效性：某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与其以前的状态有关。

3.有重叠子问题：即子问题之间是不独立的（分治法是独立的），一个子问题在下一阶段决策中可能被多次使用到。

 

DFS法（错误）

int dx[] = {1, 0};
int dy[] = {0, 1};

class Robot {
public:
    int countWays(vector<vector<int> > map, int x, int y) {
        // write code here
        //vector<vector<int> > visit(x, vector<int>(y, 0));
        long ans = 0;
        DFS(map, x, y, 0, 0, ans);
        return (int)ans;
    }

    void DFS(vector<vector<int> > map, int maxX, int maxY, int x, int y, long &ans)
    {
        if(x == maxX - 1 && y == maxY - 1)
        {
            ans = (ans + 1) % 1000000007;
            return;
        }

        for(int i = 0; i < 2; i++)
        {
            int newX = x + dx[i];
            int newY = y + dy[i];
            if(newX >= maxX || newY >= maxY)
                continue;////////////////////////////////////////
            if(map[newX][newY] == 0)
                continue;

            map[newX][newY] = 0;
            //cout << i << " " <<newX << " " << newY << endl;
            DFS(map, maxX, maxY, newX, newY, ans);
            map[newX][newY] = 1;
        }
        return;
    }
};

动态规划：

class Robot {
public:
    int countWays(vector<vector<int> > map, int x, int y) {
        // write code here
        vector<vector<int> > D(x, vector<int>(y, 0));//数组存的是到达该位置的走法数
        for(int i = 0; i < x; i++)
        {
            for(int j = 0; j < y; j++)
            {
                if(map[i][j] != 1)//先判断是否为1，因为题目没有告诉起点一定为1
                    D[i][j] = 0;
                else if(i == 0 && j == 0)
                    D[i][j] = 1;
                else if(i == 0 && j != 0)//当i == 0 && j != 0时，在上边界，只能从i, j - 1这个位置走来。所以走法和D[i][j - 1]一样
                {
                    D[i][j] = D[i][j - 1];
                }
                else if(i != 0 && j == 0)//同理
                {
                    D[i][j] = D[i - 1][j];
                }
                else if(i != 0 && j!= 0)//可以从i, j - 1和i - 1 ,j 两个位置过来。
                {
                    D[i][j] = (D[i - 1][j] + D[i][j - 1]) % 1000000007;
                }
            }
        }
        return D[x - 1][y - 1];
    }
};