27、图论模型与公平定价机制研究

图论模型与公平定价机制研究

图论相关研究

在图论研究中，我们关注一些特殊的图论性质和均衡状态。首先考虑边相等的情况，若 (e_i = e_j)，在每个定向 (\alpha) 中，变量 (x_i) 和 (x_j) 会取相反的值。映射 (F) 的构造和单射性证明分三步进行：
1. 对于所有 (\alpha \in 3 - or(G_2) \setminus C_2)，定义 (F(\alpha) = \alpha)。
2. 在情况 (1) 和 (2) 中，对于某些定义明确的 (\alpha = (x_1, \ldots, x_9, \ldots))，(F(\alpha)) 的值通过对 (x_2) 和 (x_3) 取反并保持其他方向不变得到。
3. 在其余情况下证明 (|H_2| \leq |H_1|)。

步骤 (1) 和 (2) 不受 (x_i = \overline{x_j})（(i, j \in {4, \ldots, 9}) 且 (i \neq j)）设定的影响，所以重点考虑步骤 (3)。若 (i \in {6, 7})，(j \in {8, 9}) 时 (e_i = e_j)，则 (x_i = \overline{x_j})，这意味着 (H_2 = \varnothing)，因为对于所有 (\alpha \in H_2) 都有 (x_6 = x_7 = x_8 = x_9 = 1)，显然 (|H_2| \leq |H_1|)。

接着考虑 (e_4 = e_5) 的情况，通过删除 (H_{21}) 和 (H_{11}) 中的顶点 (a, b, c, d) 得到仙人掌图 (T_{21}) 和 (T_{11})，由于边 (e_4 = e_5) 连接顶点 (a)