24、最优公正选择与双边贸易机制设计

最优公正选择与双边贸易机制设计

在复杂的市场环境和图论问题中，公正选择机制和双边贸易机制的设计至关重要。本文将深入探讨这两个领域的相关内容，包括图的顶点选择机制以及双边贸易中不同交易机制的设计与优化。

图的顶点选择机制

在图论中，我们常常需要设计公正的选择机制来挑选合适的顶点。当最大出度 (d) 小于可选择的最大顶点数 (k) 时，已有的公正选择机制能提供最优的加法保证。然而，当 (d \geq k) 时，传统的非对称多数决加亚军机制会选择过多的顶点，无法直接使用。

为了解决这个问题，我们提出了一种改进的机制——非对称多数决加亚军且删除边的机制。该机制的核心思想是在运行机制之前删除一些边，以控制选择的顶点数量。具体步骤如下：
1. 计算 (r = \lfloor(n - 2)/(k - 1)\rfloor)，这是需要删除的出边数量。
2. 确定要删除的边集合 (R = \sum_{u = 1}^{n - 1} \sum_{v = u + 1}^{\min{u + r, n}} {(u, v)})。
3. 构建新图 (\overline{G} = (V, E \setminus R))。
4. 对新图 (\overline{G}) 应用非对称多数决加亚军机制。

下面是该机制的算法实现：

Algorithm 4: Asymmetric plurality with runners-up and edge deletion
PD(G)
Input: Digraph G = (V, E) ∈ Gn, k ∈ {2, ..., n}
Outpu