43、弦图的最小和着色与最大 k 可着色子图研究

弦图的最小和着色与最大 k 可着色子图研究

1. 引言

在图论研究中，最小和着色（Min. Sum Coloring，MSC）和最大 k 可着色子图（Max. k-Colorable Subgraphs，MkCS）问题是重要的研究方向。本文将围绕这两个问题展开探讨，介绍基于线性规划（LP）的近似算法以及针对弦图的 MkCS 问题的多项式时间近似方案（PTAS）。

2. 基于 LP 的 MSC 近似算法

2.1 配置 LP

对于值 $k \geq 0$（可能为非整数），$C_k$ 表示顶点子集 $S \subseteq V$，使得子图 $G[S]$ 最多可以用 $k$ 种颜色着色。对于整数 $1 \leq k \leq n$ 以及每个 $C \in C_k$，引入变量 $z_{C,k}$ 表示 $C$ 是否是用前 $k$ 个整数着色的节点集合。同时，使用变量 $x_{v,k}$ 表示顶点 $v$ 是否应该被赋予颜色 $k$。

目标函数为最小化：
$\sum_{v \in V} \sum_{k = 1}^{n} w_v \cdot k \cdot x_{v,k}$
约束条件如下：
1. $\sum_{k = 1}^{n} x_{v,k} = 1, \forall v \in V$：每个顶点应被赋予一种颜色。
2. $\sum_{C \in C_k} z_{C,k} \leq 1, \forall 1 \leq k \leq n$：确保只选择一个顶点子集用于前 $k$ 种颜色。
3. $\sum_{C \in C_k: v \in C} z_{C,k} \geq \sum_{k’ \leq