4、图论中的 r - 划分与 OCT 问题研究

图论中的 r - 划分与 OCT 问题研究

在图论的研究领域中，r - 划分（r - Partization）和 OCT（Odd Cycle Transversal）问题一直是重要的研究方向。本文将深入探讨这两个问题在不同图类中的特性、算法复杂度以及相关的理论证明。

1. 图论基础概念

在深入探讨具体问题之前，我们需要了解一些基本的图论概念。
- 图的基本元素 ：对于图 $G$，$V(G)$ 表示顶点集，$E(G)$ 表示边集。设 $|V(G)| = n$，$|E(G)| = m$，$N_G(v) = {u | {u, v} \in E(G)}$ 表示顶点 $v$ 的邻接顶点集。
- 子图与诱导子图 ：如果 $V(H) \subseteq V(G)$ 且 $E(H) \subseteq E(G)$，则图 $H$ 是图 $G$ 的子图。若对于 $V(H)$ 中的任意顶点对 $u, v$，有 ${u, v} \in E(H) \Leftrightarrow {u, v} \in E(G)$，则 $H$ 是 $G$ 的诱导子图，记为 $G[U]$，其中 $V(H) = U$。$G \setminus S$ 表示 $G$ 在 $V(G) \setminus S$ 上的诱导子图。
- 独立集与团 ：独立集是图中相互不相邻的顶点集合，$k$ 个顶点的团记为 $K_k$，是 $k$ 个相互相邻的顶点集合。3 个顶点的团也称为三角形。图 $G$ 的团数 $\omega(G)$ 和独立数 $\alpha(G)$ 分别是最大团和最大独立集的基数。
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