53、最大 3-和 4-边可着色子图的近似算法

最大 3-和 4-边可着色子图的近似算法

1. 引言

在图论中，寻找最大 k - 边可着色子图（k - ECS）是一个重要问题。对于一般图，使用 k - 匹配方法获取 α - 近似算法时，存在一些例外图成为阻碍。不过，我们提供了一个通用框架，能得到近似比优于 minA∈F γk(A) 的近似算法。

通过结合该框架和组合结果，我们得到了以下新结果：
| 图的类型 | 问题 | 近似比 |
| — | — | — |
| 多重图 | 最大 3 - ECS 问题 | 7/9 |
| 简单图 | 最大 3 - ECS 问题 | 13/15 |
| 简单图 | 最大 4 - ECS 问题 | 9/11 |

值得注意的是，最后一个算法首次突破了 k ≥ 4 时 Vizing 定理的障碍。

2. 符号说明

• N(x)：表示 x 的邻接点集合。
• 最大度为 3 的图称为次立方图。
• ck(G)：表示图 G 的最大 k - 边可着色子图的边数。
• ck(G) = |E(G)| - ck(G)，c(G) = cΔ(G)(G)，c(G) = cΔ(G)(G)。

3. 组合结果

3.1 引理与定理

• 引理 1 ：每个次立方、无三角形的多重图 G 都有一个 4 - 边着色，其中三个最大颜色类的并集大小至少为 13/15|E(G)|。
• 定理 1 ：