10、黎曼流形与优化方法详解

黎曼流形与优化方法详解

1. 流形上的向量场

在流形的研究中，向量场是一个核心概念。对于流形 (M)，我们用 (X(M)) 表示光滑向量场的集合，用 (F(M)) 表示光滑函数的集合。假设有两个流形 (M) 和 (N)，其维度分别为 (m) 和 (n)，并且存在一个光滑映射 (\varPhi: M \to N)。那么，(\varPhi) 的导数 (D\varPhi) 定义为：
[
(D\varPhi)X = X(f \circ \varPhi), \quad X \in X(M), f \in F(N)
]
这表明对于 (X \in X(M))，有 ((D\varPhi)X \in X(N))，所以 (D\varPhi: TM \to TN) 是一个线性映射。

考虑流形 (M) 上的一条光滑曲线 (t \in [-1, 1] \to x(t) \in M)，且 (x(0) = x)。假设 (x(t) \in U_{\alpha} \cap U_{\beta})，(x(t)) 在局部坐标 (U_{\alpha}) 和 (U_{\beta}) 下的表示分别为 (x(t) = (x_1^{\alpha}(t), \cdots, x_n^{\alpha}(t))) 和 (x(t) = (x_1^{\beta}(t), \cdots, x_n^{\beta}(t)))。通过坐标变换 (x_i^{\beta} = x_i^{\beta}(x_1^{\alpha}, \cdots, x_n^{\alpha}))，可以得到：
[
\frac{dx_i^{\beta}}{dt}(0) = \sum_{