12、社会公平匹配：精确算法与近似算法

社会公平匹配：精确算法与近似算法

1 相关问题介绍

在匹配问题的研究中，有多个相关问题值得关注，它们与社会公平匹配问题存在一定的联系。
- PMMWM问题 ：一般情况下的PMMWM问题看似与社会公平匹配无关，但当满足特定条件时，即输入的图(G)是一个完全二分图，且红色顶点集(R)和蓝色顶点集(B)的顶点数(\vert R\vert = \vert B\vert = n)；划分的部分数(m)等于2；每个部分大小的上界(u)等于(\vert R\vert)（即无大小上限），此时PMMWM问题就等同于社会公平匹配问题。不过，对于PMMWM问题的这一特殊情况，目前还没有已知的改进近似结果。
- MMWM问题 ：即最小 - 最大加权匹配问题，它与PMMWM问题的唯一区别在于，MMWM问题的输入中已经给定了将(R)划分为(R_1, R_2, \ldots, R_m)的划分，且图(G)是完全图，(n = \vert R\vert = \vert B\vert)。有研究表明，MMWM问题与著名的精确完美匹配问题相关，精确完美匹配问题有随机多项式时间算法，但获得确定性算法仍是一个长期未解决的开放问题。尽管MMWM问题的设定与社会公平匹配问题看起来更相似，但由于MMWM问题输入中给定了划分，使得这两个问题有很大不同。

近年来，研究人员还引入并研究了多种不同的公平性概念，如不同影响、统计奇偶性、个体公平性和群体公平性等。同时，文献中也研究了多个不同的公平匹配问题，例如：
- 公平b - 匹配 ：由Huang等人研究，其中每个顶点的匹配偏好以排名形式给出，目标是尽量避免将顶点分配到