38、速配算法：匹配与调度的算法案例研究

速配算法：匹配与调度的算法案例研究

1. 二分图速配问题的第二阶段：确定最大权重子图

在二分图速配问题中，第二阶段的核心是解决加权度约束边集（WDCES）问题。该问题是通过将二分图速配实例的公平性违规固定为某个值 δ 得到的。为了解决这个问题，我们将其建模为最小成本流问题（MINCOSTFLOW）。

具体步骤如下：
- 构建流网络 ：设 (G = (V, E)) 是 WDCES 的一个实例，其中 (V = V_1 \cup V_2)，(V_1 \cap V_2 = \varnothing)，所有边的端点分别在 (V_1) 和 (V_2) 中。流网络 (N) 的顶点集为 (V_1 \cup V_2 \cup {s, t})，其中 (s) 是超级源点，(t) 是超级汇点。
- 对于每条边 (uv \in E)，其中 (u \in V_1)，(v \in V_2)，在 (N) 中添加弧 ((u, v))，并设置其下容量 (\ell_N(u, v) = 0)，上容量 (h_N(u, v) = 1)，成本 (c(u, v) = -q(uv))，这些弧称为主弧。
- 对于每个顶点 (u \in V_1)，添加弧 ((s, u))，下容量 (\ell_N(s, u) = \ell(u))，上容量 (h_N(s, u) = h(u))。
- 对于每个顶点 (v \in V_2)，添加弧 ((v, t))，下容量 (\ell_N(v, t) = \ell(v))，上容量 (h_N(v, t) = h(v))。所有辅助弧的成本为 0。
- 设置流值和额外弧 ：将从 (s) 到 (t) 的期望流值