11、在线已知位置的旅行商问题与社会公平匹配算法研究

在线已知位置的旅行商问题与社会公平匹配算法研究

在线已知位置的旅行商问题

在在线旅行商问题（Online TSP）中，当所有请求都被释放后，存在一些重要的性质。若所有射线长度都大于等于(\frac{1}{4})，有(\vert OPT\vert \geq t^*)，即最优算法（OPT）无法在算法（ALG）服务完射线(r)并返回原点之前服务完所有请求并返回原点。因为ALG在所有请求释放后才开始服务剩余请求，而OPT不能在此时之前完成，所以(\vert ALG\vert \leq\vert OPT\vert + \frac{3}{2})，这意味着竞争比(\rho \leq 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4})。

若所有射线长度都小于(\frac{1}{4})，算法会等待到时间(t = 1)。此时，它会确定集合(R)并服务(R)中已释放的请求。假设找到了最优集合(R)，由于(R)中射线的总长度最多为(\frac{1}{2})，ALG会在时间(t = 2)回到原点。设(R)中射线里已释放线段的总长度为(\ell)。ALG服务完请求后返回原点，在那里等待所有剩余请求释放，这个时间最多为(t = \vert OPT\vert)。对于剩余请求，ALG最多需要时间(2 - 2\ell)，所以(\vert ALG\vert \leq\vert OPT\vert + 2 - 2\ell)。显然，若(\ell\geq\frac{1}{4})，因为(\vert OPT\vert \geq 2)，则(\vert ALG\vert \leq\vert OPT\vert + \frac{3}{2} \leq \frac{7}{4} \cdot \vert OPT\vert)。

若(\e