5、磁盘图上循环击中问题的更快算法

磁盘图上循环击中问题的更快算法

在图论和算法设计领域，循环击中问题一直是研究的热点。这些问题包括三角形击中集、反馈顶点集和奇循环横截集问题，它们在许多实际应用中都有重要意义。本文将深入探讨如何在磁盘图上更高效地解决这些问题。

1. 问题背景

对于一个图 (G=(V, E)) 和整数 (k)，这三个问题分别是寻找一个大小为 (k) 的顶点子集，使得移除这些顶点后，图中不再有三角形、循环或奇循环。在一般图上，解决这些问题的最佳已知算法的时间复杂度分别为 (2.1^k n^{O(1)})、(2.7^k n^{O(1)}) 和 (2.32^k n^{O(1)})，其中 (n) 是图的顶点数。这些问题都是 NP 完全的，并且除非指数时间假设（ETH）不成立，否则不存在时间复杂度为 (2^{o(k)} n^{O(1)}) 的算法。

因此，研究人员开始关注特殊图类，如平面图和几何相交图。在平面图上，这些问题可以更快地解决，时间复杂度分别为 (2^{O(\sqrt{k})} n^{O(1)})、(2^{O(\sqrt{k})} n^{O(1)}) 和 (2^{O(\sqrt{k} \log k)} n^{O(1)})。对于单位磁盘图和地图图，也有相应的次指数时间算法。然而，对于磁盘图，直到最近才有了一些研究成果。

2. 相关概念

• 磁盘图 ：由一组磁盘 (D) 定义的图 (G=(V, E))，其中顶点 (v \in V) 对应磁盘 (D) 中的一个元素，两个顶点相邻当且仅当它们对应的磁盘相交。磁盘的层叠数 (p) 定义为包含一个公共点的最大磁盘数。
• 树分解 </