39、图像变换：离散余弦变换与小波变换解析

图像变换：离散余弦变换与小波变换解析

1. 离散余弦变换（DCT）

离散余弦变换（DCT）是一种可分离、正交且对称的变换。它可以通过计算离散傅里叶变换的实部来实现。DCT 能将数字图像 $f(x, y)$ 转换为频域的离散余弦函数系数 $C(u, v)$，在 JPEG 等图像压缩中有着广泛应用。

1.1 二维离散余弦变换及其逆变换

二维离散余弦变换及其逆变换由以下两个方程表示（$N$ 为变换周期）：
- 正变换：
[
C(u, v) = a(u)a(v)\sum_{x = 0}^{N - 1}\sum_{y = 0}^{N - 1}f(x, y)\cos\left(\frac{(2x + 1)u\pi}{2N}\right)\cos\left(\frac{(2y + 1)v\pi}{2N}\right), \quad u, v = 0, 1, \cdots, N - 1
]
- 逆变换：
[
f(x, y) = \sum_{u = 0}^{N - 1}\sum_{v = 0}^{N - 1}a(u)a(v)C(u, v)\cos\left(\frac{(2x + 1)u\pi}{2N}\right)\cos\left(\frac{(2y + 1)v\pi}{2N}\right), \quad x, y = 0, 1, \cdots, N - 1
]
其中，$a(u)$ 是离散余弦变换的归一化加权系数，表达式为：
[
a(u) =
\begin{cases}
\sqrt{\frac{1}{N}}, & u = 0 \
\sqrt{\