26、离散余弦变换（DCT）原理与应用详解

离散余弦变换（DCT）原理与应用详解

1. 引言

在数据压缩领域，离散余弦变换（DCT）是一种极为重要的技术。它由[Ahmed et al. 74]提出，此后被广泛应用和研究。DCT在数据压缩方面表现出色，尤其在图像压缩领域，能将相关输入数据的能量集中在少数变换系数上，从而实现高效的压缩。

2. 一维DCT

一维DCT的数学表达式为：
[G_f = \sqrt{\frac{2}{n}C_f} \sum_{t=0}^{n - 1} p_t \cos\left(\frac{(2t + 1)f\pi}{2n}\right)]
其中，
[C_f = \begin{cases}
\frac{1}{\sqrt{2}}, & f = 0 \
1, & f > 0
\end{cases}]
输入是一组(n)个数据值(p_t)，输出是一组(n)个DCT变换系数(G_f)。第一个系数(G_0)称为直流（DC）系数，其余的称为交流（AC）系数。

一维DCT的逆变换（IDCT）公式为：
[p_t = \sqrt{\frac{2}{n}} \sum_{j=0}^{n - 1} C_j G_j \cos\left(\frac{(2t + 1)j\pi}{2n}\right)]

一维DCT的重要特性是能将相关输入数据的能量集中在少数变换系数上。如果输入数据是相关的，那么大部分变换系数为零或小数值，只有少数系数较大。通过对系数进行量化，可以实现数据压缩。小系数可以粗量化，大系数可以细量化到最接近的整数。

在实际应用中，待压缩的数据通常被分成每组(n