47、小波变换：原理、算法与实际应用

小波变换：原理、算法与实际应用

1. 小波变换的数学基础简述

1.1 与傅里叶变换的对比

将相关公式进行对比，会发现小波变换和傅里叶变换的表达式有相似之处，二者都涉及函数与波的乘积的积分，在数学上都与“内积”相关。不过，它们的差异也很显著。小波变换会得到三维描述（γ 值是 ωa 和 t 的函数），而基于傅里叶变换的描述只是二维的（X 值是频率的函数）。

1.2 “离散连续”小波变换

在小波变换中，“离散”和“连续”有特定含义。数字化信号是离散的，因为只有有限个测量结果（时间上等间距）。而本章描述的小波变换被称为“连续”，意味着“滑动滤波器”每次进行新计算时，会在数字化信号上移动一个点。当然，也可以选择将小波移动半个小波宽度等其他方式。

由于计算量巨大，小波变换几乎只用于离散信号（除了非常简单的模型描述外，很难进行解析计算）。对于数字化信号，Morlet 小波可表示为：
[
\Psi_{\omega_a,K,t_k}(t_n) = C{\exp(-i\omega_a(t_n - t_k)) - \exp(-K^2)} \exp\left(-\frac{\omega_a^2(t_n - t_k)^2}{(2K)^2}\right)
]
这里假设待分析信号用等间距点的数字串 (x_n)（(n = 1, 2, \cdots, N)）描述，(t_k) 表示小波的中心。

对于特定频率和特定时刻的小波变换为：
[
\gamma_K(\omega_a, t_k) = \sum_{n = 1}^{N} x_n\Psi_{\omega_a,K,t_k}^*(t_n)