31、非线性偏微分方程中的扰动、能量与解的性质

非线性偏微分方程中的扰动、能量与解的性质

在非线性偏微分方程的研究中，解的存在性、爆破现象以及能量性质是重要的研究方向。下面将详细探讨相关内容。

1. 扰动与解的极限

考虑一个映射 (F : S[0, \infty) \to S[0, \infty))，它是连续的。通过一系列推导，我们可以得到 (u = \lim_{j \to \infty} u_j) 满足 (u = u_0 + Fu)。这一结果在证明某些方程解的存在性等方面具有重要意义。

同时，有一个练习题要求利用控制收敛定理证明 ((F\rho)(x, t)) 在 ((x, t) \in R^n \times [0, \infty)) 上连续。这有助于我们进一步理解映射 (F) 的性质。

2. 解的爆破现象

2.1 定理 12.3

当 (1 < p < 1 + \frac{2}{n})，(0 \leq u_0 \in B^2(R^n)) 且 (u_0 \not\equiv 0) 时，方程 ((12.8)) 不存在满足 (0 \leq u \in E[0, \infty)) 的经典解。证明过程如下：
- 首先，定义 (u_0(x, t) = \int_{R^n} G(x - y, t)u_0(y)dy)，并证明不等式 (u_0(0, t)^{-(p - 1)} - u(0, t)^{-(p - 1)} \geq (p - 1)t)，(t > 0)。
- 为此，引入 (J_{\epsilon}(s) = \int_{R^n} v_{\epsilon}(x, s)u(x, s)dx)，其中 (v_{\epsilon}(x, s