18、傅里叶分析与特征值问题详解

傅里叶分析与特征值问题详解

1. 逐点收敛

在处理不规则函数时，实分析是一个有力的工具。对于定义在紧致区间 $[a, b]$ 上的函数 $f$，若存在 $M > 0$，使得对于 $[a, b]$ 的任意划分 $a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$，都有 $\sum_{i = 1}^{n} |f(x_i) - f(x_{i - 1})| \leq M$，则称 $f$ 是有界变差函数。单调函数属于有界变差函数，并且根据 Jordan 定理，任何有界变差函数都可以表示为两个单调非减函数的差。

有界变差函数具有一些重要性质，例如对于任意 $x \in [a, b]$，$f(x + 0) = \lim_{y \downarrow x} f(y)$ 和 $f(x - 0) = \lim_{y \uparrow x} f(y)$ 都存在，且其间断点至多可数。由于 Lebesgue 可积函数是 Riemann 可积的当且仅当其间断点集的 Lebesgue 测度为零，所以有界变差函数是 Riemann 可积的。

下面是一个关于有界变差函数的重要引理：
- 引理 7.1 ：若 $f(x)$ 在 $[0, b]$ 上是有界变差函数，且 $f(+0) = 0$，则 $\lim_{s \to +\infty} \int_{0}^{b} \frac{f(x) \sin sx}{x} dx = 0$。
其证明过程如下：
1. 不妨假设 $f(x)$ 是非减函数且 $f(0) = f(+0) = 0$。对于任意 $\epsilon > 0$，存在 $0 < \delta \ll