22、紧凑距离预言机与树直径优化捷径算法解析

紧凑距离预言机与树直径优化捷径算法解析

1. 紧凑距离预言机相关内容

在处理图的距离查询问题时，紧凑距离预言机是一种重要的工具。对于所有的查询对 (s, t, F) ∈ Q ，存在一条替换路径 P = P(s, t, F) ，且 B ∩ V(P) ≠ ∅ 。同时，可以构建一个大小为 O(|G||B|²) 的数据结构，该结构能在常数时间内报告对于每个子图 Gi ∈ G 以及 x, y ∈ B 的距离 dGi(x, y) 。

1.1 预处理步骤

为了解决大跳直径的问题，我们基于第 4.3 节中的确定性 DSO 进行处理。对于小跳直径的情况，我们构建一个 (L, f) - 替换路径覆盖图 G ，并为每个子图 G(i,S) ∈ G 构建距离预言机 D(i,S) 。这部分处理需要时间 O(|G|kmn^(1/k)) 和空间 O(|G|kn^(1 + 1/k)) 。
具体的预处理步骤如下：
1. 调用引理 2 来获取集合 B 。
2. 对于每个子图，在顶点集 B 上构建一个完全加权图 H(i,S) ，其中边 {x, y} 的权重为 dG(i,S