13、凸分析、图论与统计推断知识解析

凸分析、图论与统计推断知识解析

1. 凸分析相关问题

1.1 优化练习

• 练习 5.25 ：给定 (a, b \in R^2)，要在约束条件 ((u - a) \cdot e = 0) 下最小化函数 (f(u) = \frac{1}{2} |u - b|^2 = \frac{1}{2}(u - b) \cdot (u - b))。
• 练习 5.26 ：设 (f) 是定义在区间 (I \subset R) 上的凸函数，对于 (a, b, c \in I) 且 (a < b < c)，需证明 (\frac{f(b) - f(a)}{b - a} \leq \frac{f(c) - f(a)}{c - a} \leq \frac{f(c) - f(b)}{c - b})，并证明 (f) 是连续的。

1.2 对偶定理

1.2.1 定理内容

给定 ((m, n)) 矩阵 (A : R^n \to R^m) 以及向量 (r \in R^n)，(d \in R^m)，有以下两个问题：
- 问题 (P) ：在约束条件 (x \geq 0)，(Ax \geq d) 下最小化 (r \cdot x)。
- 问题 (P*) ：在约束条件 (q \geq 0)，(^tAq \leq r) 下最大化 (q \cdot d)。这两个问题能达到相同的值。

1.2.2 证明过程

定义指示函