17、有序覆盖的紧近似算法

有序覆盖的紧近似算法

在组合优化领域，集合覆盖问题和顶点覆盖问题是两个经典且重要的问题。本文聚焦于这两个问题的有序最小化版本，提出了有效的近似算法。

1. 问题背景

• 集合覆盖问题 ：给定元素集合 $E$ 和子集族 $V$，目标是从 $V$ 中选取最少数量的子集，使得它们的并集覆盖 $E$。自然贪心算法是该问题的 $O(\ln n)$ - 近似算法（$n = |E|$），且该界限在 $NP \nsubseteq DTIME(n^{O(\log \log n)})$ 条件下是紧的。
• 顶点覆盖问题 ：作为集合覆盖问题的重要特例，其基础结构是图 $G = (V, E)$，目标是选取最少的顶点来覆盖图中的每条边。已知有多种 2 - 近似算法，有证据表明 2 - 近似可能是最优的。
• 最小和版本 ：最小和集合覆盖（MSSC）和最小和顶点覆盖（MSVC）为上述问题提供了排序视角。在 MSSC 中，需要找到子集的线性排序，使得元素的覆盖时间之和最小。自然贪心算法为 MSSC 提供 4 - 近似，MSVC 可实现约 1.778 - 近似。

2. 有序覆盖问题

• 有序和 Top - ℓ 覆盖 ：给定子集的线性排序 $\sigma$，$Cov_{\sigma} \in R_{+}^{|E|}$ 是由元素覆盖时间按非递增顺序排列得到的向量。在有序最小和集合覆盖（OMSSC）问题中，排序 $\sigma$ 的成本定义为 $\langle w, Co