3、微分方程系统与生态、细胞生物学模型解析

微分方程系统与生态、细胞生物学模型解析

1. 梯度系统与哈密顿系统

1.1 梯度系统

梯度系统是一种特殊的微分方程系统，其形式为：
[
\begin{cases}
\dot{x} = -\phi_x(x, y) \
\dot{y} = -\phi_y(x, y)
\end{cases}
]
其中，(\phi_x = \frac{\partial\phi}{\partial x})，(\phi_y = \frac{\partial\phi}{\partial y})，(\phi(x, y)) 是一个标量函数。该系统的平衡点由 (\phi_x(x_0, y_0) = \phi_y(x_0, y_0) = 0) 确定，满足此条件的 ((x_0, y_0)) 被称为 (\phi(x, y)) 的临界点，同时也是梯度系统的平衡点。

对于该系统，有 (\frac{d}{dt}\phi(x(t), y(t)) = -\dot{x}(t)^2 - \dot{y}(t)^2 \leq 0)，当且仅当 (\phi_x(x(t), y(t)) = \phi_y(x(t), y(t)) = 0) 时，(\frac{d}{dt}\phi(x(t), y(t)) = 0)。若解的轨道 (O = {(x(t), y(t)}) 不在平衡点上，则 (\frac{d}{dt}\phi(x(t), y(t)) < 0)，轨道 (O) 包含在 (A_c = {(x, y) | \phi(x, y) \leq c}) 中，其中 (c = \phi(x_0, y_0))。

在平衡点 ((x_0, y_0)) 附近进行线性化，