13、数论基础与应用：从整数性质到密码系统

数论基础与应用：从整数性质到密码系统

1. 引言

数论主要研究整数及其性质，在数学领域中，整数作为基础元素，使得数论在许多意想不到的地方发挥着重要作用。特别是在网络领域，数论构成了现代密码学的重要基础，并在错误纠正方面有广泛应用。接下来，我们将深入探讨数论的几个基本主题及其应用。

2. 整数的基本性质

2.1 整除性与模运算

整除性是数论中最基本的概念之一。对于整数 (m) 和 (n)，若存在整数 (k) 使得 (m = nk)，则称 (n) 整除 (m)，记作 (n | m)。此时，(n) 是 (m) 的约数，(m) 是 (n) 的倍数。整除性具有以下基本性质：
1. 若 (a | b) 且 (b | c)，则 (a | c)。
2. 若 (a | b) 且 (a | c)，则 (a | (b + c))。
3. (a | b) 当且仅当 (ac | bc)。

除法算法定理表明，对于任意正整数 (n) 和整数 (a)，存在唯一的整数 (q) 和 (r)（(0 ≤ r < n)），使得 (a = qn + r)。其中，(q) 为商，(r) 为余数，有时 (r) 写作 (a \bmod n)。

对于正整数 (n)，整数集 (Z) 可划分为 (n) 个剩余类 ([r] = {…, r - n, r, r + n, r + 2n, …})（(r = 0, …, n - 1)），记作 (Z/nZ)。若两个整数 (s) 和 (t) 属于同一剩余类，则 (s \equiv t \bmod n)，意味着 (s - t) 能被 (n) 整除。在 (Z/nZ) 上可定义加法和乘法运算，这就是模运