64、基础算法数论与模运算：原理、算法及应用

基础算法数论与模运算：原理、算法及应用

在数学和密码学领域，基础算法数论和模运算起着至关重要的作用。本文将深入探讨这些概念，包括欧几里得算法、扩展欧几里得算法、模运算的基本操作、模逆元计算、模幂运算等，同时介绍蒙哥马利乘法和均匀群元素选择的相关内容。

欧几里得算法与扩展欧几里得算法

• 欧几里得算法（GCD） ：用于计算两个整数 (a) 和 (b)（(a \geq b > 0)）的最大公约数。其基本思想是，如果 (b) 能整除 (a)，则 (b) 就是最大公约数；否则，递归计算 (GCD(b, [a \bmod b]))。

ALGORITHM B.7
The Euclidean algorithm GCD
Input: Integers a, b with a ≥b > 0
Output: The greatest common divisor of a and b
if b divides a
    return b
else 
    return GCD(b, [a mod b])

可以证明，对于 (0 \leq i \leq \ell - 2)，有 (b_{i + 2} \leq b_i / 2)。这意味着在算法执行过程中，递归调用的次数最多为 (2 |b| - 2)。
- 扩展欧几里得算法（eGCD） ：在计算最大公约数的同时，还能找到整数 (X) 和 (Y)，使得 (Xa + Yb = gcd(a, b))。