14、量子理论：信息、通信与图论的前沿探索

量子理论：信息、通信与图论的前沿探索

1. 引言

文明的发展往往伴随着符号通信系统的进步，如书写的出现，使信息能跨越时空交流。然而，抽象通信也带来了诸多挑战，如信息的高效存储、防篡改和保密等问题，这些一直是信息理论研究的核心，且在现代社会愈发重要。

随着物理媒介的不断发展，信息存储和处理方式也在改变。计算机的诞生引入了比特的概念，而量子信息理论则基于量子设备，利用叠加、纠缠和测量等量子原理，为信息处理带来了新的可能。它不仅采用了新的字母表——量子比特（qubit），还能以更快、更安全的方式处理信息，这得益于独特的物理原理，而非传统的机械升级。

2. 量子信息

2.1 希尔伯特空间及其算子

量子力学中最基本的数学结构是希尔伯特空间。为简化，我们假设所有希尔伯特空间都是有限维的。

设 $\mathbb{R}$ 为实数集，$\mathbb{C}$ 为复数集。向量空间 $V$ 上定义了加法和标量乘法运算，且存在零向量。一组向量 ${|\ 0\rangle, |\ 1\rangle, \cdots, |\ n - 1\rangle}$ 若满足 $\sum_{j = 0}^{n - 1} \alpha_j |\ j\rangle = 0$ 时，每个 $\alpha_j = 0$，则称它们线性无关。若这组向量能张成整个向量空间，则称该向量空间是 $n$ 维的。

希尔伯特空间是一个有限维复向量空间 $H$，并定义了内积运算 $\langle x | y \rangle \in \mathbb{C}$，满足以下性质：
1. $\langle x | (| y \rangle + \alpha | z