15、不完美信息扩展式博弈：概念、策略与均衡计算

不完美信息扩展式博弈：概念、策略与均衡计算

1. 不完美信息扩展式博弈的定义

在之前对扩展式博弈的讨论中，我们假设玩家能明确知晓自己所处的选择节点，即玩家拥有完全信息，这类博弈被称为完美信息博弈。然而，在许多实际情况中，玩家可能仅掌握部分信息，甚至对其他玩家的行动一无所知，或者对自己过去的行动记忆有限。不完美信息扩展式博弈正是为解决这一问题而提出的。

不完美信息博弈是一种扩展式博弈，其中每个玩家的选择节点被划分为信息集。直观地说，如果两个选择节点位于同一个信息集，那么玩家无法区分它们。一个不完美信息博弈可以用元组 $(N, A, H, Z, χ, ρ, σ, u, I)$ 来表示，其中 $(N, A, H, Z, χ, ρ, σ, u)$ 是一个完美信息扩展式博弈，而 $I = (I_1, \ldots, I_n)$ 是对玩家选择节点的划分。

例如，在图 5.10 所示的不完美信息扩展式博弈中，玩家 1 有两个信息集：包含顶部选择节点的集合和包含底部选择节点的集合。在第二个信息集中，两个底部选择节点具有相同的可能行动集。这意味着玩家 1 在做出 $\ell$ 和 $r$ 之间的选择时，不知道玩家 2 选择了 $A$ 还是 $B$。

2. 策略与均衡

在不完美信息博弈中，纯策略是指玩家在每个信息集中选择一个可用的行动。对于玩家 $i$，其纯策略由笛卡尔积 $\prod_{I_{i,j} \in I_i} \chi(I_{i,j})$ 组成。

完美信息博弈可以看作是不完美信息博弈的一种特殊情况，其中每个划分的等价类都是单元素集。以囚徒困境博弈为例，它可以很容易地转换为一个不完美信息扩展式博弈（如图 5.11 所示）。这表