69、扩展式博弈：概念、均衡与求解方法

扩展式博弈：概念、均衡与求解方法

1. 博弈求解的计算难度与零和博弈

在博弈求解中，找到一个玩家偏离动机较小的解在计算上具有一定难度。目前已知的多项式时间算法，只能保证输出一个解，在这个解中，没有玩家能将其收益提高超过约 33%。如果愿意接受更高的运行时间，对于玩家数量固定的博弈，存在超多项式算法，能找到玩家偏离动机至多为 ε（任意常数 ε > 0）的策略组合。而对于零和博弈，可以高效地计算混合纳什均衡，这是通过线性规划对偶的方法，基于求解单个线性规划问题来实现的。

2. 扩展式博弈的引入

之前研究的博弈无法捕捉玩家顺序行动的情况，而在许多实际场景中，如棋盘游戏（国际象棋、围棋等）、谈判协议和公开叫价拍卖等，玩家会轮流行动，并在得知对手的决策后再做决定。为了分析这类博弈，我们引入扩展式博弈。

以一个简单的两人博弈为例，玩家 1 先行动，在 A 和 B 中选择；玩家 2 根据玩家 1 的选择，在 C 和 D 或者 E 和 F 中选择；游戏结束后，每个玩家根据最终状态获得相应的收益。例如，若玩家 1 选 A，玩家 2 选 C，他们的收益分别为 2 和 5。

扩展式博弈通常用有根树表示，根节点表示游戏开始，叶子节点表示游戏可能的结束。树的深度有限，但节点可能有无限的分支，对应玩家有无限的行动选择。树的内部节点表示游戏状态，在每个状态下，要么是某个玩家做决策，要么是有随机事件（如抛硬币）决定下一个状态，我们将后一种情况称为自然行动。

一个历史是从游戏开始的有效行动序列，即从根节点到树中某个节点的路径，空集也被视为有效历史。终端历史是结束于叶子节点的历史，它描述了游戏的一种可能玩法，终端历史和叶子节点一一对应。